淺析函數與導數的高三復習策略

江蘇省丹陽市呂叔湘中學 趙如國

函數與導數歷來都是高考命題的重點，“能力立意”是高考數學命題的基本思想，在這一思想的指引下，高考命題者往往會以函數為載體，整體把握高中數學的教學特點，對學生綜合性的理解和應用能力進行考核.考慮到函數與導數在數學知識體系中的重要地位，命題者經常以這部分內容為主設計綜合題，以檢查學生的邏輯推理能力、綜合分析能力及數學思維能力.鑒于此，教師要專注學生高三復習過程中在這一模塊的具體情況，并有策略地施加引導.

一、強化學生認識，提升他們復習的關注度

在高三復習時，由于整個高中階段的新課學習已經結束，這時教師要引導學生，站在全局的高度，對導數與函數在高中數學中的地位有一個總體性的認識，同時更要藉此引領學生把握該知識模塊與其他模塊之間的聯系.

為提升學生復習時的關注度，教師還要結合近年來對高考試卷的分析，引導學生明確高考在函數與導數部分考核的側重點，讓學生知道復習過程中的著力點.一般來講，學生在進行復習時，應該要關注導數及其應用，能夠結合導數對函數的圖像特征進行研究，并由此理清函數的具體性質.在高考試卷上，此類問題往往是以初等函數為背景來設計題目，甚至會放在壓軸題的位置.這也就提醒學生復習該模塊內容時，要兼顧到基礎性和綜合性兩個方面，要求學生對基本概念進行準確的把握和理解，并提醒他們注意知識和方法的融會貫通，還要能夠聯系所學內容解決最基礎的實際性問題.具體來講，學生在復習時要注意以下幾個方面的問題.

（1）重視函數的圖像和基本性質，包括定義域、值域、奇偶性、單調性、最值和周期性等，尤其是指導學生結合各類型函數的典型情形分析其函數的基本特征.

（2）重視函數、方程、不等式等內容相互整合的綜合性問題，引導學生通過化歸思想、數形結合思想、分類討論思想等展開分析和處理，同時也要指導學生將導數作為基本工具，藉此來研究函數的基本性質，以及相關問題的證明.

（3）重視實際性問題的處理，引導學生充分利用建模思維，從實際問題情境中提煉出數學模型，并充分應用函數與導數的基本理論和方法，完成問題的分析和研究.

在指導學生進行復習時，我們要向學生強調某項內容的重要性，不僅要強調“重要”二字，更要讓學生明確：重要在什么地方，要復習哪些內容，具體該做哪些事兒.這樣才能讓學生的各項工作更有針對性，才能實現有條不紊地推進.

二、靈活運用各項工具，強化對基本概念和性質的理解

函數的概念性非常強，它的性質是數學問題處理的重要工具，定義域、值域、單調性、奇偶性等歷來都是高考命題的重點，幾乎可以說是每年必考，學生必須要靈活而深刻地掌握.圖像是函數的重要組成，能對函數性質進行有效的刻畫，因此在復習過程中，教師要指導學生以數形結合思想為基礎，深刻把握函數及圖像的關系.

在復習過程中，教師還要充分意識到，二次函數的最值討論、零點分布等都是導數問題的基礎，這要求學生能夠反復過關，同時還要求學生能夠結合函數的單調性、奇偶性、周期性等基本性質來描繪圖像，并領悟其中的數學思想.在研究函數的單調區間及極值問題時，導數是最有效的一項工具，教師要幫助學生形成使用導數巧妙分析問題的相關意識和思維習慣.

例題展現：現有函數f（x）=（x-1）ex-kx2，試分析：

（1）當k=1時，該函數的單調性特點；

（2）如果該函數在［0，＋∞）上單調遞增，確定k的取值范圍.

思路分析：（1）若k=1，則f（x）=（x-1）ex-x2，則f′（x）=ex+（x-1）ex-2x=x（ex-2）.令f′（x）=x（ex-2）＞0，可以解得x＞ln2或x＜0；再令f′（x）=x（ex-2）＜0，則有0＜x＜ln2，所以該函數的單調增區間為（-∞，0）和（ln2，+∞），單調減區間為（0，ln2）.

（2）對原函數進行求導，f ′（x）=ex+（x-1）ex-2kx=x（ex-2k），如果該函數在［0，+∞）上單調遞增，則在對應區間內，f′（x）=x（ex-2k）≥0恒成立，可以得出ex-2k≥0，即ex≥2k恒成立.由于ex≥1，所以2k≤1，因此有當時，f′（x）=x（ex-2k）≥0，當x取0時，上述不等式取等號.則本題所要確定的實數k的取值范圍為

三、積極認識導數，明確其在函數問題中的重要作用

綜觀近幾年的高考試題，我們發現很多函數的問題可以從導數的角度展開分析，并最終獲得求解.為適應這一需要，教師在復習教學中，應該引導學生更進一步地研究和認識導數，并結合課程標準的基本要求，有效展開復習，尤其要避免學生在復習過程中將導數和函數割裂開來的行為.

教師在復習過程中要積極滲透導數的知識，并引導學生從函數性質，以及圖像的變化特點出發，居高臨下地對導數和函數的知識進行整合，積極發揮導數的應用.此外，教師應該要關注導數的幾何意義和內涵，并由此引導學生探索相關內容與幾何的關系，從而加深他們的理解.

學生還要積極從導數的角度出發，引領學生破解函數圖像的基本特點，同時也要引導學生分析方程的相關性質.經過分析，學生能夠明確繪制某些函數的圖像時，直接處理難度較大，但是先從導數的角度出發引導學生探明性質、作出草圖，最后就能夠輕松完成任務.

此外，學生在研究導數問題時，經常會因為概念理解偏差而出現錯誤，因此教師必須要引導學生探明其實質，并有意識地引導學生強化訓練，幫助學生形成充分的理解和認識.

四、結合實際場景，引導學生結合建模思維復習函數與導數

函數與導數都是重要的數學模型，很多問題也都是理想化的，如果引導學生過分側重理想化的模型分析，則容易限制學生思維的發展，他們的認識能力也很難因此而得到發展.同時，數學教師應該意識到當前很多高考題也習慣將數學理論和實際場景聯系起來，并由此引導學生展開建模處理，藉此來提升他們的能力和思維.

例題展示：某地需要建造一座橋，現在已經將兩側的橋墩建好，且已知橋墩距離為m米，余下的工程僅僅對應著現有橋墩之間的路面工程和中間橋墩的建造.經過預測，橋墩的建造費用是256萬元/個，每兩個橋墩之間距離為x米的路面建造費用為x萬元.假設這些橋墩都可以視為點，而且之間的距離也都是相等的，現在忽略其他因素，將剩下工程所需費用記作y萬元.試分析：

（1）y關于x的函數表達式；

（2）如果m等于640，則應該建造多少個橋墩，可以使得y的取值最小？

思路分析：（1）先假設需要新建橋墩數為n個，即（n+1）x=m，因此有，進一步可以寫出函數式y=

綜上所述，在高三復習過程中，教師要引導學生站在全局的高度，審視高中數學的知識框架和方法特點，有效指導他們完成對函數與導數的復習，由此提升他們的復習質量.