“式”中思法，“變”中求道
——一道首創“代數新定義”壓軸題的命制過程與拓展

☉江蘇省海門市中小學教師研修中心 徐 強

今年筆者有幸參加了2019年南通市中考數學試卷的命題工作，試卷繼續保持了以課標為指南，以教材為題源的命題風格，充分體現了“畢業和選拔相匹配、傳承與創新相融合、減負與增效相呼應”的命題特點，對初中數學教學起到了很好的導向作用.現將試卷中一道首創“代數新定義”題的命制過程與拓展整理成文，與同行分享.

一、構思，有的放矢

1.確定命題方向

力求通過構建一點的橫、縱坐標之間的關系的“代數新定義”，形成一道集方程、函數（一次函數與反比例函數的交點問題）與內隱圖形于一體的綜合題，難度系數為0.3～0.4.著重考查方程與函數思想、分類討論思想、數形結合思想、幾何直觀、極限思想，突出考查代數推理能力、數學建模能力及利用幾何圖形來研究代數問題的能力.

2.形成命題思路

核心載體：點M（x，y）——定義x、y之間的數量關系——定直線，動曲線.

核心知識：以乘法公式、方程、一次函數、反比例函數與等腰三角形為核心知識.

核心素養：注重代數推理素養——先思后變，運算推理，把握規律，關注數學知識的聯系與轉化，考查函數眼光；注重幾何直觀素養——先畫后算，數形結合，生成方法，關注學生思維的層次與遷移，考查建模能力.

二、破解，逆水行舟

1.找準起點，挖掘特征

如何構造x、y之間的關系，形成點M（x，y）的新定義？

命題組基于命題的指向性，逆向探求命題思路，以直線、雙曲線的解析式為思考的起點，挖掘“y=kx+b，xy=k”的特征，來定義x、y之間的數量關系.

（1）不同變統一.

從“式”具有的特點出發思考：y=kx+b不具有輪換對稱的特點，xy=k具有輪換對稱的特點.

將“式”統一成都具有輪換對稱的特點：x+y=b，xy=k.

（2）顯性變隱性.

如何將x、y之間的顯性函數關系變成隱性的關系？

由x+y=b，xy=k，容易聯想到x2+y2.

變形：x2+y2=（x+y）2-2xy=b（x+y）-2k=bx+by-2k.

拆分：x2=by-k，y2=bx-k.

簡化：當b=2，k=-t時，x2=2y+t，y2=2x+t.

（3）驗算可行性.

x、y滿足“x2=2y+t，y2=2x+t”是否可行？

驗算：由x2=2y+t，y2=2x+t，得x2-y2=2（y-x），x2+y2=2（y+x）+2t.

需增加x≠y，可得x+y=-2.

由x2+y2=（x+y）2-2xy=2（y+x）+2t，得4-2xy=-4+2t.則xy=-t+4.

由x≠y，得（x-y）2＞0，即（x+y）2-4xy＞0.則（-2）2-4（-t+4）＞0.解得t＞3.

于是得到：若x、y滿足“x2=2y+t，y2=2x+t，x≠y”，則隱含的是定直線x+y=-2，動曲線xy=-t+4.

從而形成新定義：點M（x，y），若x、y滿足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t為常數，則稱點M為“線點”.例如，點（0，-2）和（-2，0）是“線點”.

2.把握視角，構建問題

如何依據新定義，構建考查的問題？

命題組立足考查的目的性，抓住定義具有判定與性質的雙重性的視角進行命制，構建了“有梯度”的三個問題：（1）直接用定義判定已知點是否為“線點”；（2）從定義出發，利用代數的變形推理，發現定義中隱含的一些性質，如確定的一次函數y=-x-2和一個與t的取值有關的變化的反比例函數等；（3）綜合運用定義的判定與隱含的性質，解決幾何問題.

已知：在直角坐標系xOy中，點P（m，n）.

（1）P1（3，1）和P2（-3，1）兩點中，點______是“線點”；

（2）若點P是“線點”，用含t的代數式表示mn，并求t的取值范圍；

（3）若點Q（n，m）是“線點”，直線PQ分別交x軸、y軸于點A、B，當|∠POQ-∠AOB|=30°時，直接寫出t的值.

這道代數新定義題從命題的角度來說是一種創新，“從新定義的提出，到問題的設置”的命制過程凝聚了命題組全體成員的集體智慧，清晰呈現了閱讀—理解—轉化的模式，充分體現了“式”中思法、“圖”中求道的味道，強化了代數推理變形的水平、幾何聯想推理的能力，是一道很好地考查“綜合與實踐”領域的創新試題.

從學生答題的角度來說也是一種創新.首先，有效考查了學生對新定義的現場閱讀、運算與推理的學習能力，這是本題發現“定直線和變化的雙曲線”的前提；其次，考查了學生對知識的聯想、遷移與轉化的處理能力，能否將已有認知體系中的直線和雙曲線及時調用是分析的核心；再次，考查了學生對基本模型的構造、求異的創新能力，發現題目中隱藏的基本圖形是求解的關鍵.

從引領課堂教學的角度來說更是一種創新.能較好地引領數學教師在日常教學與復習中，一要關注核心概念的限時閱讀與理解，強化概念“雙重性”內涵的形成過程；二要關注主干知識之間的關聯與轉化，強化遷移的意識與方法；三要關注建模的思想與變式，強化思維的深刻性與靈活性.

三、拓展，追本溯源

縱觀命制過程，可以發現此類定義的構造“聯想有源，構造有法”.可以無限構造出“定曲線，動直線”“動曲線，定直線”“動曲線，動直線”.

1.從輪換對稱式構造x、y之間的關系

從x+y=b，xy=k聯想構造.

由x+y=b，xy=k，得x2+y2=（x+y）2-2xy=b（x+y）-2k.

拆分：x2=by-k，y2=bx-k.

驗算：由x2=by-k，y2=bx-k，得x2-y2=b（y-x），x2+y2=b（y+x）-2k.

需增加x≠y，可得x+y=-b.則x2+y2=-b2-2k.

由x2+y2=（x+y）2-2xy，得-b2-2k=b2-2xy.則xy=b2+k.

取值范圍：由x≠y，得（x-y）2＞0.即（x+y）2-4xy＞0.則3b2+4k＜0.

于是可定義：若實數x、y滿足x2=by-k，y2=bx-k，且x≠y，則稱點M（x，y）為“線點”.

顯然，特殊化可構造出不同的情形，當b確定，k變化時，則為“動曲線，定直線”.

2.從非輪換對稱式構造x、y之間的關系

從ax+y=b，xy=k類比“1”的構造.

由ax+y=b，xy=k，得a2x2+y2=（ax+y）2-2axy=b（ax+y）-2ak.

拆分：a2x2=by-ak，y2=abx-ak.

驗算：由a2x2=by-ak，y2=abx-ak，得a2x2-y2=b（y-ax），a2x2+y2=b（y+ax）-2ak.

需增加ax≠y，可得ax+y=-b.則a2x2+y2=-b2-2ak.

由a2x2+y2=（ax+y）2-2axy，得-b2-2ak=b2-2axy.則axy=b2+ak.

取值范圍：由ax≠y，得（ax-y）2＞0.即（ax+y）2-4axy＞0.則b2-4（b2+ak）＞0.即3b2+4ak＜0.

于是仍可定義：若實數x、y滿足a2x2=by-ak，y2=abxak，且ax≠y，則稱點M（x，y）為“線點”.

顯然，利用橫、縱坐標之間的關系構建“新定義”是有規律可循的，教學中要從簡單的“模仿”走向本質的“思考”，適度滲透“如何構想的方法”，不斷強化多題歸一、舉一反三，培養思維的深刻性和靈活性，這樣才能使學生從“機械操作”走向“理性思維”，從而有效突破“一遇陌生問題就一籌莫展”的軟肋.

四、結束語

對于中考試題，一線教師的關注度很高，但很多教師對如何命題總感無所適從，其實命題并不神秘、并非難事.如本文中利用點的橫、縱坐標之間的關系構建這類代數“新定義”題的命制規律往往是“式”中思法，“變”中求道.因此，在平時的教學中，一方面，要多積累，關注基本模型、通性通法、逆向推理與多解歸一的水平，不斷增進思維的深刻性；另一方面，要多思考，注重數學不同“學習領域”間關聯、轉化的能力，有效拓寬思維的空間.W