平移齊次化妙解定點定值問題

廣東省英德中學 陳國宗 全紅盈

一、概述

圓錐曲線是歷年高考命題的重點與難點，而定點定值問題又始終在圓錐曲線的問題中占有一席之地，該問題對學生分析問題能力，知識綜合運用能力，數學運算能力與技巧要求較高.學生普遍存在計算不完或者計算不對的現象.為此，本文將介紹平移齊次化方法解決一類定點定值問題，以提高運算的效率與準確率.

二、例題分析

例1，已知A，B為拋物線x2=4y上異于原點O的兩點，設kOA，kOB分別為直線OA，OB的斜率且kOA+kOB=2.證明：直線AB的斜率為定值.

解：設直線AB與拋物線的交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，

設直線AB的方程為mx+ny=1.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）證明：直線AB的斜率為定值.

解得a2=8或a2=3（舍去）

∴b2=a2-c2=2

（2）分別平移x，y軸，建立以P(-2，1)為原點的直角坐標系x′Py′，如圖2所示

在直角坐標系x′Py′下：已知P(0，0)，設A(x1′，y1′ )，B(x2′ ，y2′)

設直線AB方程為mx′ +ny′=1

變形得：x′2+ 4y′2- 4x′+ 8y′=0

聯立得：x′2+4y′2-4x′(mx′+ny′ )+ 8y′(mx′+ny′)=0

∵直線PA與直線PB的傾斜角互補，故kPA+kPB=0

二是一般地，設P(x0，y0) (x0≠0)為圓錐曲線C:f(x，y) = 0上一點，由點P引傾斜角互補的兩弦PA，PB，利用平移齊次化方法證明直線AB斜率為定值的基本步驟為：

①平移坐標軸，建立以P(x0，y0) (x0≠0)為原點的新平面直角坐標系x′Py′.

②在直角坐標系x′Py′下，求得圓錐曲線C的方程為f(x′+x0，y′+y0)=0，并將直線AB方程設為mx′ +ny′=1.

三是解題過程中應注意到圓錐曲線：C:f(x′+x0，y′+y0)=0的常數項為0，以及直線平移前后斜率不變的一般規律.

三、結束語

以上是本人對平移齊次化方法在定點定值問題中的一些見解，通過文中的幾則實例，我們可以感受到該方法摒棄常規、獨辟蹊徑、解法高效.這也啟發我們學習數學應該要有敢于創新、勇于突破的精神，而非墨守成規、千篇一律.