向量法在立體幾何中的應(yīng)用

云南省開遠(yuǎn)市第四中學(xué) 董秋理

立體幾何一直是高中數(shù)學(xué)的一個難點，解決這個難題的最好工具就是空間向量。向量融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)形式和幾何形式“雙重身份”，具有線性運算、數(shù)量積，既有有向線段表達(dá)式，又有坐標(biāo)表達(dá)式，是解決立體幾何問題的一種重要工具，向量本身的這些特點決定了它與立體幾何、解析幾何、三角函數(shù)等內(nèi)容的自然融合，是知識的“交匯點”。

一、平面法向量的坐標(biāo)的求法

一般根據(jù)平面法向量的定義推導(dǎo)出平面的法向量，推導(dǎo)平面法向量的方法如下：

例1，在例1的條件下，求平面ACD1的法向量和平面A1ABB1的法向量

二、空間向量在求解立體幾何題中的應(yīng)用舉例

（一）空間向量在求空間距離中的應(yīng)用

1.點到平面的距離、直線與平面的距離、平面與平面的距離

直線與平面的距離、平面與平面的距離均

可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離求解。當(dāng)求直線與

平面的距離時，A，B 兩點分別表示直線上的任意一點和平面上的任意一點，表示平面的法向量。

2.求異面直線間的距離

（二）空間向量在證明垂直、平行中的應(yīng)用

要證明兩直線垂直，只需證明這兩條直線所對應(yīng)的方向向量的數(shù)量積為；要證明直線垂直平面，只需證明這條直線所對應(yīng)的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩向量的數(shù)量積均為；要證明兩平面垂直，只需證明一個平面內(nèi)的一個向量垂直另一平面，或者證明兩個平面的法向量的數(shù)量積為0。

要證明直線與平面平行，只需證明這條直線所對應(yīng)的方向向量平行平面內(nèi)的一個向量，或者證明這條直線所對應(yīng)的方向向量垂直于平面的一個法向量；要證明平面與平面平行，只需證明這兩個平面所對應(yīng)的法向量平行，或者證明一個平面的法向量垂直另一個平面。

（三）空間向量在求空間角中的應(yīng)用

2.求直線與平面所成的角

設(shè)AB是平面α 的斜線，AC是平面α 的垂線，

3.求二面角

向量法的思維過程較簡潔，規(guī)律性較強，解答比較容易，但需要正確建立空間直角坐標(biāo)系及正確確定點的坐標(biāo)。