教研現場無處不在，評價學情反思教學
——從一篇七年級學生數學寫作說起

☉江蘇省蘇州工業園區東沙湖學校 劉 燕

我們知道，教學即研究.教學研究的素材來自各種“現場”，教育“現場”無處不在，最重要的“現場”就是我們每天面對的課堂和學生.筆者所在地區一個數學群里經常開展一些基于“現場”的教學研究，本文就記錄并整理近期我們在數學群里對一篇學生寫作的研討過程，供分享.

一、從一篇七年級學生數學寫作說起

案例：攻克一道最值難題（這是七年級學生L所寫的一篇數學反思日記）.

最近，我們學習了不等式，又有一大波坑人的題目向我們奔來，今天，研究一道最值難題.

已知三個非負數a、b、c滿足3a＋2b＋c=5，2a＋b-3c=1，m=3a＋b-7c.求m的最大值和最小值.

我的解法與思考如下：

由于未知數較多，所以我把c看作常數，用含c的代數式表示a、b.

我又發現，a、b、c為非負數，那么a≥0，b≥0，c≥0，所以-3+7c≥0,7-11c≥0,解得

解決這題的重點是用含c的代數式表示a、b，再用不等式表示c，代入m，即可求解.

說明：這篇學習寫作被一位老師發到群里之后，大家就感覺學生的思路正確，順利求出答案，值得分享，引發了很多老師的跟進討論.

二、教師研討意見摘編

師1：該生巧妙運用消元思想得出一元一次不等式組，再次運用消元思想表示出代數式，結合求出的字母的取值范圍得出代數式的取值范圍.

師2：這個學生會學習.從“一大波坑人”的題目中發現了多參數問題的解題技巧，“把c看作常數，用含c的代數式表示a、b”，并及時總結了此類問題的解題方法.另外，也看出該生會讀題、審題.用含c的代數式表示a、b后，能及時聯系題目條件“a、b、c為非負數”，求出c的范圍，從而順利求解.

師3：該生數學思維能力很強，知道消元思想的作用，最重要的是知道為什么要消元，等式和不等式放在一起時，往往等式都是為不等式“服務”的，而不等式（組）只能有一個未知數，這時候就要利用等式來消元，該生成功地消元成只含有字母c的不等式（組），從而求得c的范圍.另外本題討論最值時仍然要對多項式進行消元，這其實是八年級要學習的一次函數的思想方法，該生對函數的知識已經有了初步感知，能力上不比八年級部分學生差，看得出該生對數學有很高的悟性.

師4：消元是貫穿始終的主線，從該生的做法中，選擇消去參數c，他說把c看作常數，我認為從提高計算正確率的角度，可以把c干脆移到等號右邊，最后求m的最值.當然把兩個值代入也行得通，我在評講時，還是會先引導學生.比如，就這個題目而言，“被減數”減去“減數”，減數不變，被減數越大，結果越大，反之越小.對優秀學生來說，不僅僅是代入端點值的問題.

師5：三個字母變化，無法求最值，借助字母之間的聯系（方程）想到消元，所以要解方程組，需要用含c的式子表示a、b，然后消元，代數式的值隨著c的變化而變化，那是不是c是全體非負數呢？經過思考，發現不是，還要保證a、b也是非負數，從而得出只含有字母c的不等式（組），問題得到解決.該生思路清晰，條理清楚，數學思維能力強！

師6：縱觀該生的思路，可以分為三個部分.（1）消元，兩個方程，三個未知數，無法求解，但是可以用含一個字母的式子表示出另外兩個量.而且她選擇以c為參數，降低了計算量，如果用含a的式子表示b、c，或用含b的式子表示a、c，都比較復雜.（2）求參數的取值范圍，直接根據題目中的非負數的條件得出參數的取值范圍.（3）用含c的式子表示m，再根據c的取值范圍求最值.從她解題的步驟順序可以看出，該生的思維是很嚴謹的，讀題很細心，題目中的任何一個條件都沒有忽略.一般在第一步后我們自然會代入先表示出m，然后求最值時發現不好求，再從題目中發現“非負數”這個條件，從而再求c的范圍，這樣在以后處理綜合題時往往會忽略這個起始的限制條件.

師7：從“坑人”這一詞語感受到這名學生第一次可能未完全解決這道題.但從反思小作中發現小作者對此題的解題思路是很清晰的：聯立方程消參，通過條件聯立得一元一次不等式組，讓問題清晰化；最后m與c必須關聯，此處該生用了極端值來完成（七年級學生對一次函數的性質有時存在一種感知，很可貴）.給小作者的一句話：我們是否可以通過c的范圍去分析m的范圍，這樣最大與最小是不是更有說服力呢？

師8：本題作為一道多參數題，考查的知識點較多.但學生能準確找出問題的關鍵，即參數較多時，可以通過消元，減少參數的個數，從而使問題變簡單.此時可以關注消元的技巧：消去系數簡單的參數.用含b的代數式表示a、c（或用含c的代數式表示a、b）后代入m=3a＋b-7c，這樣表示m的代數式就只剩一個參數.這是本題的第一個“坎”.本題的第二個“坎”是需要學生知道“三個非負數”這個隱性條件的使用，只要求出上面這個參數的取值范圍就可得出m的取值范圍，從而求出m的最大值和最小值，問題得解.當然，小作者如能重點寫出如何想出突破這兩個“坎”的思路歷程，對其他學生的學習會有更大幫助.

三、進一步的思考

1.老師點評對解法的評析精準到位

從上面老師們的研討意見可看出，大家都確認了本題解法的三個重要步驟.比如，第一步：消元.這個方程組中包含有3個未知數的2個方程，此時發現無法求解出a、b、c的具體值.聯想到二元一次方程組是含有2個未知數的2個方程，可以求解出兩個未知數的具體值，那么不如減少未知數的個數，將其中一個未知數看作常數.這就將這個含有3個未知數和2個方程的方程組轉化成了只有2個未知數、2個方程的二元一次方程組.這種消元和參數思想是非常重要的，使未知（三元）走向已知（二元一次方程組）.第二步：縮小取值范圍.雖然用含一個未知數的式子表示了另外兩個未知數，但是又因為a、b、c三者是緊密相關的，也就是“牽一發而動全身”，所以需要再次縮小取值范圍.第三步：代入分析最值.

2.善于站在七年級學生的角度評析

從上面不少老師的發言看出，一個三元一次方程組，三個限制條件，求兩個最值，組合成了一道方程、不等式、函數的綜合題，所以七年級學生拿到手覺得“坑人”一點兒不足為奇.但這名學生由前面知識聯想到解三元一次方程組的基本思想是消元，聯立不等式求字母的取值范圍，由一個字母的最值可以求含該字母的代數式的最值，從而使問題迎刃而解.最可喜的是，她不僅解出來了而且有了深刻的反思，對以后解這類題有很大的幫助.

3.“坑人的題目”是數學教育的尷尬

學生開頭一段寫道“又有一大波坑人的題目向我們奔來”，讓我們數學教育人情何以堪，數學的形象在這些優秀學生眼中都是“坑人的題目”，這是數學教育的失敗.這也提醒我們數學教學要向學生傳遞怎樣的數學習題觀.比如，數學學習離不開解題，但解題是為了鞏固所學新的數學概念或數學性質，本末不可倒置.而且好的習題應該有一定的標準，比如，章建躍博士指出的“數學題的質量應該有一些基本指標，例如，在深化理解、建立聯系、發展概念、促進思維及建立良好認知結構等方面有較好作用”，進一步，章博士還指出“解題要把握量和質的平衡，當前的問題是量太大而質不高，人為制造、細枝末節、煩瑣復雜的題目充斥課堂，學生做了大量題目但對數學到底是研究什么的知之甚少”.在這個意義上來理解上文學生數學寫作的另外一個意義，就是我們數學教育人應該認真反思，為什么一個七年級學生在數學學習的歷程上，感受不到數學解題的邏輯力量、攻克難題后那種暢快和愉悅，而是感覺到“又有一大波坑人的題目”？我們是不是應該多花些時間在命題研究、習題設計和作業布置上呢？