教師解題研討關(guān)注點(diǎn)：明辨好題與通向教學(xué)
——從“負(fù)數(shù)的整數(shù)部分”的網(wǎng)絡(luò)研討說(shuō)起

☉江蘇省蘇州高新區(qū)第二中學(xué) 范 紅

一、從一次網(wǎng)絡(luò)研討說(shuō)起

說(shuō)明：這是筆者參與的一個(gè)數(shù)學(xué)教師微信群里的一次網(wǎng)絡(luò)研討的摘要.話題討論由“師1”發(fā)起，隨后不少老師參與了討論，筆者沒(méi)有參與討論，但認(rèn)真閱讀了他們的對(duì)話，有了一些思考，本文就從這段網(wǎng)絡(luò)研討的對(duì)話說(shuō)起.

師1：請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題：負(fù)數(shù)的整數(shù)部分是什么？比如-2.6的整數(shù)部分是什么？

師2：從百度查到“實(shí)數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分講義”，主要觀點(diǎn)是，對(duì)于正實(shí)數(shù)，整數(shù)部分直接取其最接近的兩個(gè)整數(shù)中最小的正整數(shù)，小數(shù)部分用原數(shù)減去整數(shù)部分.比如，實(shí)數(shù)3.25，最接近的兩個(gè)整數(shù)是3和4，則整數(shù)部分為3，小數(shù)部分就是3.25-3=0.25，類似的，最接近的兩個(gè)整數(shù)是2和3，則整數(shù)部分為2，小數(shù)部分是.而對(duì)于負(fù)實(shí)數(shù)，整數(shù)部分取與其最接近的兩個(gè)整數(shù)中較小的負(fù)整數(shù)，小數(shù)部分用原數(shù)減去整數(shù)部分.比如，-2.6在-3和-2之間，則整數(shù)部分確定為-3，所以它的小數(shù)部分為-2.6-（-3）=0.4.

師3：網(wǎng)上很多是這樣解釋的.

師1：是的.但是像-2.6，也可看成整數(shù)部分為-2，小數(shù)部分為-0.6.可不可以這樣認(rèn)為呢？

師4：更多的認(rèn)為是比這個(gè)數(shù)小的最大整數(shù).有一年我出初一試卷時(shí)出現(xiàn)了這個(gè)問(wèn)題，當(dāng)時(shí)爭(zhēng)論過(guò)，我從網(wǎng)上查到基本上是這個(gè)解釋，即整數(shù)部分為-3.

師5：就叫不大于本身的最大整數(shù).

師1：哦，那么-2.6的整數(shù)部分應(yīng)該是-3，小數(shù)部分就是0.4.

師6：前段時(shí)間我關(guān)注過(guò)2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷，其中第1題也涉及這類問(wèn)題，但是競(jìng)賽題表述比較嚴(yán)謹(jǐn)，使用的是新定義的方式，摘題如下：

用［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，把x-［x］稱為x的小數(shù)部分.已知，a是t的小數(shù)部分，b是-t的小數(shù)部分，則=（ ）.

C.1

這道競(jìng)賽試題以新定義的方式表述了上面探討的一個(gè)數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分，然后在求解過(guò)程中需要分別研究正數(shù)和負(fù)數(shù)兩種情況，比如，t是正數(shù)，而-t是負(fù)數(shù).對(duì)照定義可分析出t的范圍.，即3＜t＜4，所以.進(jìn)一步分析負(fù)數(shù)，可得，于是對(duì)照定義再代入求解可得，故選A.

（師6的發(fā)言和舉例，引發(fā)群里教師的“一片點(diǎn)贊”）

師6是當(dāng)?shù)爻踔袛?shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，從他引證競(jìng)賽題例來(lái)看，對(duì)上述話題討論起到了較好的引導(dǎo)作用.

二、由網(wǎng)絡(luò)研討引發(fā)的一些思考

需要說(shuō)明的是，筆者無(wú)意繼續(xù)討論與一個(gè)數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分有關(guān)的習(xí)題的解法，而是由這類網(wǎng)絡(luò)研討出發(fā)，討論一下數(shù)學(xué)教師的教研興趣與教研關(guān)注點(diǎn).

1.理解數(shù)學(xué)需要破除迷信、追求真理

數(shù)學(xué)是一門邏輯連貫、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，但根據(jù)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家彭加勒的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)是從約定、假設(shè)開始的.彭氏有幾本中文譯本的著作在國(guó)內(nèi)影響較大，如《科學(xué)與假設(shè)》《科學(xué)與方法》等著作.聯(lián)系到初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)也都是從定義（概念，往往是一種約定、歸納）、公理出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理得出一系列真命題（定理、推論等）.從理解數(shù)學(xué)出發(fā)，我們?cè)谟龅揭恍┯袪?zhēng)議的數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，探究解法不必以名人、權(quán)威或不靠譜的“網(wǎng)傳解釋”為準(zhǔn)，而應(yīng)基于國(guó)家發(fā)布的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，經(jīng)過(guò)審定的教材上的數(shù)學(xué)概念、定義、基本事實(shí)（公理）、定理，進(jìn)行解釋和推理，如果能夠成立就是正確的，如果相悖往往是錯(cuò)誤的，或者需要另選解釋的途徑.簡(jiǎn)言之，作為習(xí)題爭(zhēng)議解法的探討，我們需要立足數(shù)學(xué)本身，追求真理，并把這種追求傳遞給學(xué)生，而不是讓學(xué)生養(yǎng)成聽老師解釋的習(xí)慣，想來(lái)，這也是數(shù)學(xué)育人、核心素養(yǎng)的當(dāng)下追求.

2.關(guān)注教材經(jīng)典例、習(xí)題，對(duì)教輔資料上的內(nèi)容審慎選用

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開習(xí)題訓(xùn)練與講評(píng)，根據(jù)我們的觀察，數(shù)學(xué)老師中不讀期刊、不讀一些專家學(xué)者著作的并不在少數(shù).客觀上看，不少老師（特別是任教畢業(yè)年級(jí)的教師）的課余時(shí)間多在解題、“做作業(yè)”（學(xué)生的作業(yè)），而很少有時(shí)間深入思考教學(xué)話題.難怪有些資深教研員指出，長(zhǎng)期在畢業(yè)年級(jí)教學(xué)的老師往往不會(huì)上數(shù)學(xué)新授課，如果“循環(huán)”到七年級(jí)開展初中起始年級(jí)教學(xué)，他們常常對(duì)一些概念“一帶而過(guò)”，進(jìn)而以大量習(xí)題“以練代講”，進(jìn)行變式訓(xùn)練，而且對(duì)教材也缺少必要和深入的研習(xí).事實(shí)上，數(shù)學(xué)教材（課本）上的例、習(xí)題往往比較經(jīng)典，教師要多研究、多變式，帶領(lǐng)學(xué)生思考、練習(xí)，以達(dá)到鞏固所學(xué)的目的.特別值得提醒的是，不能被教輔資料牽引著教研方向，教輔資料上的有些習(xí)題不夠嚴(yán)謹(jǐn)，以錯(cuò)傳錯(cuò)，特別是有些“網(wǎng)紅試題”（超標(biāo)題、超綱題，或是從一些數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷中簡(jiǎn)單改編而來(lái)的一些技巧極高的習(xí)題），這類試題作為自主招生考試、競(jìng)賽輔導(dǎo)使用是可以的，畢竟是“小眾”參與，而作為“全樣本”參與的大型考試命題或集中布置作業(yè)來(lái)說(shuō)，這類習(xí)題是應(yīng)該舍棄的，有專業(yè)自主的教師都應(yīng)該抵制、舍棄，不要向?qū)W生傳遞錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)習(xí)題觀.

3.數(shù)學(xué)教師離不開解題，但要明辨“食材”、大膽取舍

數(shù)學(xué)教師的解題不能只是滿足于答案獲得，思路貫通，而要追求一題多解，并繼續(xù)開展解后反思，比如，分析試題能否進(jìn)行必要的推廣，推廣之后能得出哪些結(jié)論，由這些結(jié)論能提煉出怎樣的“深層結(jié)構(gòu)”，在此基礎(chǔ)上還可以怎樣進(jìn)行“縱向深化”“橫向拓展”，最后形成一些統(tǒng)一的結(jié)論，以達(dá)到“做一題、會(huì)一類、通一片”的解題追求，從而開展解題教學(xué)時(shí)就能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“變中不變”，揭示知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，提煉數(shù)學(xué)思想方法，達(dá)到“精學(xué)一題，妙解一類”，促進(jìn)學(xué)生把握同類問(wèn)題的本質(zhì).當(dāng)然，我們也看到，有些教師在上述方向上十分用功，在很多教研群里熱衷研究解法、揭示結(jié)構(gòu)、變式拓展，但是很多考題是“超標(biāo)題”，技巧性強(qiáng)，是“競(jìng)賽題”套路，雖然也被有些中考試卷引用，但并不是貼上了中考題的標(biāo)簽就一定是好的習(xí)題.我們的意見是，數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長(zhǎng)，離不開解題，但解題如同吃飯，食材關(guān)要把好，對(duì)垃圾食材、有毒食材、偽造食材要學(xué)會(huì)辨別，而不是繼續(xù)烹飪下去，該扔的要扔了.

三、關(guān)于習(xí)題研討的進(jìn)一步思考

1.基于理解數(shù)學(xué)的高度精選好題

理解數(shù)學(xué)需要教師關(guān)注數(shù)學(xué)史，知曉初中階段數(shù)學(xué)知識(shí)的“前世今生”，在此基礎(chǔ)上就可對(duì)一些數(shù)學(xué)習(xí)題進(jìn)行辨析，分析這些習(xí)題的訓(xùn)練功能，如是否具有變式拓展，能否關(guān)聯(lián)初中階段數(shù)學(xué)的一些核心概念等.而對(duì)一些人為編造的繁雜、無(wú)趣的劣質(zhì)題要大膽舍棄，選取好題之后還可以把同類問(wèn)題整理到一起進(jìn)行研究.近年來(lái)，我們?cè)凇吨袑W(xué)數(shù)學(xué)（下）》上看到不少專題復(fù)習(xí)的課例都是精選了同類問(wèn)題開展教學(xué)，這是值得我們關(guān)注和努力的教研方向.

2.重視教學(xué)“基本問(wèn)題”的研究

教學(xué)“基本問(wèn)題”關(guān)注的是“教什么、教誰(shuí)和怎么教”，習(xí)題研討也可以從上述三個(gè)視角開展研究.比如，當(dāng)我們面對(duì)一道習(xí)題時(shí)，首先要思考這道習(xí)題的考查意圖，通過(guò)這道習(xí)題的講評(píng)與教學(xué)能幫助學(xué)生掌握哪些數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)，對(duì)于后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有哪些幫助；再結(jié)合所教班情、學(xué)情，想清學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，思考如何預(yù)設(shè)鋪墊式問(wèn)題，以便讓學(xué)生更好地理解問(wèn)題，思考習(xí)題講評(píng)之后怎樣揭示問(wèn)題結(jié)構(gòu)，如果有必要，還可以針對(duì)所講習(xí)題進(jìn)行變式再練，進(jìn)行必要的學(xué)情反饋.可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)習(xí)題研究走向教學(xué)研究時(shí)，作為教師的習(xí)題研究會(huì)更加有意義.