強化概念教學，培養核心素養

☉江蘇省揚中高級中學 張紅玉

一、問題的提出

數學中的概念教學一直是一個特殊的話題，大家都知道其重要性，但在實際教學過程中還是普遍存在“重解題輕概念”的現象，從而導致學生對數學概念理解的不透徹，掌握的比較膚淺，進而概念的應用更無從談起，從而造成思路混亂，最終在解題上出現失誤.

1.概念教學普遍存在的問題

（1）概念教學表面化、形式主義嚴重，大有“到此一游”的意味.這樣必導致對應的概念講不透，流于形式.往往只是通過簡單的舉例，然后進行跨越式的簡單歸納，不注重數學概念的引入.有時更是直接把數學概念提出來，從而來當作完成任務.

（2）概念講解過分講究定義的嚴謹性，導致較為生疏的數學專業術語使用過多，學生無法從根本上真正認識并掌握相應的數學概念.

（3）數學概念中對定義的限制條件或相應的隱含條件交代不全，解釋不透，有時對概念的相關條件的要求只是一帶而過，這樣造成學生主觀上只對概念有一個模糊的印象，故在實際應用時必定漏洞百出.

2.概念教學導致的錯誤傾向

“重解題輕概念”的現象已經根深蒂固，從而導致普遍存在的錯誤傾向：

（1）直覺地認為老師對數學概念不夠重視，從而形成心理上的懈怠，主觀性較差，重視性較低，進而不求甚解，直接導致對相關的數學概念的認識模糊不清.

（2）主觀上對數學概念只是簡單的死記硬背，沒有充分理解，透徹掌握，只是對數學概念有一個表面的、膚淺的、機械的、零碎的了解與認識，更談不上理解與掌握.

“重解題輕概念”的結果可想而知，在沒有真正理解與掌握數學概念的情況下，盲目地去解題，只會簡單地模仿老師的講解或教材本中的實例，必然無法形成有效的能力，更無法養成解決相應概念下典型的題目和掌握相應概念下的特定解法與技能，效果比較差.當遇到創新性的問題背景、創新的題目條件、創新的技能技巧時，問題就充分暴露出來，且束手無策.而為了解決這個問題，又只能是進行大量的題海訓練，去熟悉更多的題目與類型，進一步導致師生為了提高成績而“暢游”在茫茫的數學題海之中，身心交瘁，效果不佳.

二、問題的解決

概念教學在數學教學中具有舉足輕重的作用，那么教師怎樣真正體現《普通高中數學課程標準（2017年版）》中“課程基本理念”的要求，切實有效地注重概念教學，落實舉措，以培養學生的數學核心素呢？

1.體驗概念的產生過程，培養數學抽象

數學概念的引入，應創設身邊可及的教學情景，從實際問題出發，提出問題，進而通過分析問題、解決問題和應用問題來切入數學概念，水到渠成.特別地，設計與相應概念有明顯聯系且直觀性強的例子，可以引導學生自主地對具體問題進行體驗、探究，進而感知概念，并形成感性認識.最后再通過對一定數量的感性材料的觀察、分析、抽象、歸納、提升，提煉出感性材料的本質屬性——數學概念.這樣對數學概念的感性認識階段通過一定的實例訓練就能比較有效地上升到理性認識階段，從而培養學生數學抽象的核心素養.

例如，在三角函數中對角的概念進行推廣時，通過初中“平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形”的角的概念，結合生活實例，提出問題，從而引導學生從簡單的“旋轉”到“按逆時針方向旋轉”和“按順時針方向旋轉”的有效延伸，形成任意角的概念.

2.抓住概念的本質屬性，培養數學建模

一個全新概念的產生，是對已有的相關概念的延續、繼承、發展和完善.我們知道，一個概念包括內涵部分與外延部分，其中內涵部分主要揭示相關概念的本質屬性，外延部分則指明相關概念所包含的對象的范圍，即具有這種特定的本質屬性的那些相關的確定對象的集合的全體.在概念教學中，有些概念的內涵部分豐富、外延部分廣泛，很難做到一步到位，這時就需要對其進行合理的設計，將其分成若干個層次，層層推進，有效鏈接，逐步深入.只要抓住了相關概念的本質屬性，對概念的理解與掌握就比較容易了.而抓住概念的本質屬性，關鍵就在于突破概念的抽象關，培養學生數學建模的核心素養.

例如，在立體幾何中的二面角的平面角的概念教學時，抓住概念中“以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線”這一本質屬性，形成二面角的平面角的大小的唯一性、位置的平移性以及立體問題的平面幾何化，把立體圖形問題借助平面幾何的角的大小問題來規范.

3.挖掘概念的深層含義，培養邏輯推理

數學概念大都是通過定義來描述并給出其確切含義的，通過對概念本質屬性的理解，還需進一步挖掘其深層含義，概括出定義的基本點，這些概括出來的定義的基本點，其實就是對定義的“再加工”“再挖掘”過程，從而對概念有更全面、更深刻的理解，進而有效且正確地運用概念并形成能力，以培養學生邏輯推理的核心素養.

例如，在任意角的三角函數的概念教學過程中，首先要清楚正弦函數、余弦函數、正切函數均表示相應角α的終邊上對應點P的坐標（x，y）以及該點與原點的距離r之間的比值，各相應函數的比值的大小只與對應的角α的大小有關，與角α的終邊上所取點的位置與坐標無關.然后再進行更深層的挖掘，當r=1時，其點P的坐標與相應三角函數值的關系為x=cosα，y=sinα；角α的終邊位置與旋轉周數、對稱的關系等，為后面誘導公式的推導奠定基礎.

又例如，在平面向量的數量積的概念教學時，通過公式的直接給出來確定相應的概念.而對于平面向量的數量積的結果為一個數量，結合投影的概念，可以進一步拓展平面向量的數量積的應用，在解決一些復雜的平面向量的數量積問題時，經常轉化為相應的投影來處理，可以有效地拓展與提升對相關概念的理解.

4.概念的具體抽象，培養直觀想象

其實，在概念教學中，要充分明確感性認識與理性認識的依賴關系，不能盲目地認為由感性認識得出的觀念就是概念.作為數學概念，一般不同于其他概念，一些數學概念往往是由具體直觀的形象，通過抽象的思維活動總結出來的.對于此類概念教學，應盡可能通過直觀教學，進而使整個概念教學變得直觀有效，學生更容易掌握.在概念教學中，把抽象的概念具體化，從而讓學生感到直觀形象，記憶牢固，掌握準確，應用起來也比較方便，以培養學生直觀想象的核心素養.

例如，對于棱臺概念的掌握，要先讓學生觀察實物，在具體直觀認識的基礎上，觀察其主要特征與由來，抽象概括出“用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面與底面之間的部分”就是棱臺的概念.從而進一步回歸就可以明確“棱臺的側棱延長線相交于一點”，這也是在具體形象的基礎上抽象出來的概念的良好反饋.

5.明確概念的對立統一，培養辯證思維

數學概念不是孤立存在的，相關概念之間既有聯系又有區別，既是對立的又是統一的.通過數學概念之間的關系的分析與掌握，在學習過程中可以有效類比，綜合比較，形成思維群，從而進行更有效且更深層次的學習，以培養學生科學的辯證思維.

在研究數學概念之間的關系時，分析橫向關系與縱向關系，往往橫向關系表現在并列的概念關系中，通過對原有概念的理解與比較，進而區分橫向上易混淆的概念；而縱向關系表現在從屬的概念關系中.通過橫向關系與縱向關系的分析，啟發學生進行系統的歸納，能讓學生明確概念的聯系與區別.例如，在進行等比數列的概念教學過程中，就可以借助等差數列的概念教學，進行相應概念的聯系與區別方面的分析，從而更加快速有效地學習等比數列的概念.

在研究數學概念的對立統一時，往往把對立統一的相關概念進行比較學習.例如，“正數與負數”“正角與負角（包括零角）”“旋轉的方向——逆時針與順時針（包括沒有旋轉）”，這些對立的概念形成了三角函數中的任意角概念，具有鮮明的相互矛盾、對立統一的性質.

三、感悟與反思

作為教師，在概念教學時，第一要有效備課，充分處理好講與練的關系，將講和練有機地結合在一起，并通過合理巧妙的設計，為概念教學的講解提供時間上的保證以及過渡上的鏈接；第二要轉變教學觀念，概念教學不要囿于課本，要從學生已有的認知水平與結構出發，借助網絡媒體等現代化的科技手段，通過講解并引導學生參與，形成系統的概念網絡，組成科學的知識體系；第三要合理創新，借助概念的關系引導學生進行一些可行的創新與拓展，培養興趣，形成習慣.

波利亞說過：“學習最好的途徑是自己去發現.”在概念教學與概念形成的過程中，要充分引導學生自主探究，通過對具體事物的感知，自主觀察并進行分析，主動參與研究，合理地進行抽象概括，自覺獲取事物的本質屬性和規律，從而形成新的數學概念.在此過程中，學生能夠主動地去獲取和體驗數學概念，自主地建構數學知識，真正培養了學生的數學能力、創新精神以及核心素養，充分體現了以學生為本，尊重學生的主體地位的教學理念，也促進了學生學習方式的轉變和優化，從而全面提升并優化教學效益，達到培養數學核心素養的目的.W