提升學生思維能力的解題優化的實踐思考

☉江蘇省揚中市第二高級中學 蔡 飛

培養人的思維能力的數學教育往往能使人展現出豐富多彩且充滿活力的創新意識，新課標在提高學生數學思維能力這一目標上的要求是比較高的，事實上，高考改革的命題趨勢也為思維能力較強的學生創造出更多施展才能的空間，解題能力是高考中思維能力的重要體現，因此，教師在數學高考復習中應善于運用一題多法、多題共法、一題多變、一題多用、一題多聯等多種手段來促進學生的思維提升，使學生能夠在有意義的思維訓練中獲得思維靈活性、廣闊性、嚴謹性、批判性等品質的不斷發展.

一、一題多法促進思維靈活性的提升

例1在平面直角坐標系中，O是坐標原點，A（-1，，動點D滿足的最大值為______.

解法1：（聯想三角函數的有界性）設動點D（3+cosθ，sinθ），則所以所以的最大值為

解法2：（聯想圓的性質）設動點D（x，y），則由1，可得（x-3）2+y2=1，因此動點D的軌跡是以C（3，0）為圓心、1為半徑的圓.而是點D（x，y）和點的距離，聯想圓的性質可得

解法3：（聯想三角不等式，當且僅當同向時取等號，因此的最大值為

解法4：（聯想直線與圓的位置關系）設動點D（x，y），由可得則

解法5：（聯想柯西不等式）令，聯想柯西不等式可得，當且僅當時，等號成立，化簡可得因此即的最大值為

當然，一題多法訓練的最終目的并不是讓學生掌握練習題的所有解法，教師應善于在一題多法的訓練中幫助學生學會從不同角度、方法對題目進行審視和思考，引導學生進行多方位的思考并作出及時的調整，使學生能夠在理順知識之間縱橫聯系的同時獲得求知欲的激發并展現出更加活躍的思維狀態.

二、多題共法促進思維廣闊性的提升

例2（1）設關于x的方程x2+2x+a=0在（0，+∞）上有解，則實數a的取值范圍如何？

（2）設關于x的方程sin2x+2sinx+a=0有解，則實數a的取值范圍如何？

（3）設關于x的不等式sin2x+2sinx+a＞0有解，則實數a的取值范圍如何？

（4）設關于x的不等式sin2x+2sinx+a＞0恒成立，則實數a的取值范圍如何？

例子中的（1）—（4）問雖然各以二次方程、三角方程、三角不等式的不同形式呈現在大家面前，但經過對比和分析之后不難發現，通過兩個變量的相互關系尋找其中一個變量的取值范圍這一本質特征是一樣的，因此，上述的小題均能用“分離法”來解決.

第（4）問略解：

不等式sin2x+2sinx+a＞0恒成立與a＞-（sinx+1）2+1對x∈R恒成立是等價的.

令f（x）=-（sinx+1）2+1，則其最大值是1，因此實數a的取值范圍為（1，+∞）.

多題共法訓練應建立在學生具備了一定的類比、觀察以及概括能力的基礎之上，學生對數學基本解題技能與規律的掌握往往會在有效的多題共法訓練中得到鞏固和提升，很多學生會獲得做一題而會一類的感悟以及求同思維的迅速發展，這對于學生思維的廣闊性的培養是極具意義的.

三、一題多變促進思維嚴謹性的提升

例3已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：|ac+bd|≤1.

教師在此題的教學中首先可以啟發學生運用比較法、分析法、綜合法來進行證明，然后引導學生對證明過程進行反思并發現新的解法，在學生獨立思考、合作交流的基礎上再將柯西不等式、三角代換、向量法、復數法、幾何法等進行共同的分析、歸納和探究，使例題在變形、推廣的過程中獲得更多的新題.

變式1：已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：

變式2：已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：|ac-bd|≤1；

變式3：已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：

變式4：已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=m，c2+d2=n，求證：

變式5：已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，ab+cd=1，求證：ab-cd=0；

變式6： 已知a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R，且a12+a22+a32=1，求證

變式7： 已知a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R，且a12+a22+a32=2，，求證

變式8： 已知a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R，且a12+a22+a32=m，，求證

將“原型題”作為素材并適當地改變條件或問題背景，使原問題在橫向、縱向上得到拓展與延伸，能大大提升學生對問題的認識，辯證地分析、應用條件的過程就是學生思維嚴謹性大大提高的過程，教師在實際教學中應善于運用此類題目來進行一題多變的訓練以幫助學生提高學習效率.

四、一題多用促進思維批判性的增強

例4設函數，證明（fx）在（0，1］上為減函數，在［1，+∞）上為增函數.

這是一道簡單的證明題，此題中表現出“對勾”函數的單調性在求最值方面具有相當廣泛的用途，這種函數的結論或方法在解決一類函數的最值問題中能夠發揮很好的效果.

例5（1）已知|lga-lgb|≤1，求的最值.

解析：（1）由|lga-lgb|≤1可得則

由f（x）的 單 調 性 可 得即

利用基本不等式求最值是解決此類問題中常用的方法，不過一旦取“=”這一條件并不具備時，聯想“對勾”函數的單調性來解題就是必須的了.

從不同的角度與知識點出發圓滿地解決同一個數學問題，思維的廣闊性與深刻性都在這一過程中得到了鍛煉與發展.W