轉化與化歸思想的妙用

☉河南省固始慈濟高中 陳建啟

☉河南省固始慈濟高中 李曉艷

轉化與化歸思想作為一種最基本的數(shù)學思想方法，已在數(shù)學學習中得到了普遍應用，其精髓在于利用化繁為簡、化難為易、化未知為已知等方法，將尚未解決的問題通過轉化，歸結為一個已為人們所熟知的具有既定方法或程序的問題，最終使問題得到解決的一種思想方法.

在日常的教學中，很多老師會發(fā)現(xiàn)學生都能聽懂老師所講的內容，但在自己做題時卻總是沒有思路或者沒有很合適的方法，究其原因，主要是因為同學們在做題時不能很好地應用轉化與化歸思想，不會把題目中的問題轉化為我們已知的、熟悉的、簡單的問題.下面我們通過幾個例子來談談“轉化與化歸思想”的妙用.

例1已知x+y+z=10，x，y，z∈N，則該方程有多少組解？

解析：本題可用分類討論思想來處理，但情況太多，討論起來太麻煩，也容易出錯，如果我們使用轉化與化歸思想，把題目轉化成下面一個我們熟悉的問題來處理就方便多了.

假設有10個相同的小球，現(xiàn)將其放入3個不同的盒子中，共有多少種放法？

解析：如果將10個小球分為3組，則需要用2個隔板將其隔開，現(xiàn)將2個隔板和10個小球合在一起共有12個元素，需要12個位置，從這12個位置中選2個位置放上隔板，就可以把10個小球分為3組了，故有種放法.

所以，通過轉化可得，原方程共有66組解.

注：排列組合中的很多問題都可以用轉化與化歸思想來解決，把問題轉化為我們熟悉的模型，如：相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊元素優(yōu)先法、分排排列直排法、分組分類問題先分組再分類等，我們只要記住一個例子，舉一反三，就可以解決一類問題.

例2判斷下面說法是否正確，并說明理由：

定義在R上的函數(shù)f（x），其圖像是連續(xù)不斷的，如果f（x+2）=2f（x），則y=f（x）至少有一個零點.

解析：該說法錯誤，但在教學中發(fā)現(xiàn)很多同學認為沒有函數(shù)解析式，無從下手，判斷不出來.如果我們換一個角度思考，要想說明一個問題是錯誤的，只需要能舉出反例即可，那么怎么舉反例呢？

我們注意觀察式子f（x+2）=2f（x），看著很熟悉，類似于數(shù)列中的遞推關系式an+2=2an.符合等比數(shù)列的特征，不妨取，則，轉化為函數(shù)該函數(shù)滿足f（x+2）=2f（x）.我們知道，此函數(shù)無零點，因此題中說法錯誤.

注：關于抽象函數(shù)的判斷對錯問題，我們可以通過構造函數(shù)，舉例驗證來解決，例如涉及周期性和對稱性的問題，我們經常類比三角函數(shù)，符合f（x+y）=f（x）+f（y）可以類比指數(shù)函數(shù)，符合f（xy）=f（x）+f（y）可以類比對數(shù)函數(shù)，這樣轉化往往可以快速解決問題.

例3求的最小值.

解析：此題使用常規(guī)的方法無法求解，通過轉化可以類比兩點間距離公式來做.

因為AB和x軸有交點，所以P為AB和x軸的交點時有最小值，

注：很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題，然后利用數(shù)形結合思想來解決，借助圖形看起來也更直觀易懂.常見的有兩個含有根式的和的問題可以轉化為兩點間的距離的形式可以轉化為直線的斜率問題；給出一個不等式組求另一個式子的范圍，可以轉化為線性規(guī)劃問題等等.

轉化與化歸思想已滲透到數(shù)學的各個章節(jié)，并且起到橋梁的作用，使深不可測的數(shù)學知識“規(guī)律化”.同學們只要善于利用轉化思想，善于總結規(guī)律，就能做到觸類旁通，舉一反三，更好地解決那些看似復雜的問題，以達到事半功倍的效果.F