數學活動經驗的成分分析*

☉內江師范學院數學與信息科學學院 趙思林

一、研究數學活動經驗的意義

數學智慧永遠離不開數學活動經驗.智慧是無垠的海洋，經驗是智慧海洋中無盡的浪花.沒有經驗就沒有智慧.數學活動經驗對于學生同化數學新的知識、方法、思想等具有決定性的作用.數學活動經驗既是學習的必要基礎，也是學習的目標，數學活動經驗能激活直覺、涵育創新.因此，《義務教育數學課程標準（2011年版）》［1］和《普通高中數學課程標準（2017 年版）》［2］都提出了“積累數學活動經驗”的教學目標.由此足見數學活動經驗的重要性.但遺憾的是，對數學活動經驗的界定，這兩個“標準”均未明確給出，學術界也沒有達成共識，這給中小學一線教師的教學帶來困惑.因此，研究數學活動經驗具有學術必要性和現實緊迫性，研究的策略最好采用各個擊破的方法.顯然，弄清“數學活動經驗”的前提是（基本）弄清數學活動經驗的成分.基于此，下面擬對數學活動經驗的成分作一些分析與探討.

二、數學活動經驗成分的研究評述

近年來，一些教師對數學活動經驗的成分作了不少研究，下面對幾種具有代表性的觀點作探討和評述.

“數學活動經驗分為靜態和動態兩個層面.從靜態上看，數學活動經驗是知識，從動態上看，數學活動經驗是過程，是經歷.”［3］一般認為，數學活動經驗含有知識成分，這是大家的共識.數學活動經驗是過程嗎？是經歷嗎？或者反過來說，“過程是數學活動經驗”嗎？“經歷是數學活動經驗”嗎？這就存疑了.從邏輯的角度看，這兩個說法是有差異的.經歷數學活動的過程，必然會產生數學活動經驗嗎？顯然未必.事實上，“經歷數學活動的過程”只是“產生數學活動經驗”的必要條件，但不是充分條件.簡言之，“過程”只是“經驗”的必要條件但不是充分條件.也就是說，“數學活動的過程”或“經歷數學活動”都不能與“數學活動經驗”劃等號.正像當下一些數學課堂，表面上看熱熱鬧鬧，教學過程緊湊，學生活動豐富多彩，但學生在數學方面的收獲很少.課堂上學生回答問題明明是錯誤的或不全面的，教師及時給予肯定甚至贊揚，這樣的數學活動過程中學生不但不能獲得經驗，而且可能養成是非不分的惡習.

“學生的基本活動經驗包含以下3類基本內容：體驗性內容；策略性內容；模式性、方法性內容.”［4］這里不把數學知識、數學思想等明確地放在數學活動經驗內，是不全面的.如果學生對某個數學知識、數學方法、數學思想等的體驗是錯誤的或很不準確，那這樣的體驗算不算數學活動經驗呢？這當然不能算數學活動經驗，比較恰當地講，可以算“數學活動教訓”.學生在數學學習、問題解決和探究過程中得到的“數學活動教訓”可能遠比數學活動經驗多.因此，學生學習和探究數學更需要雪中送炭，也就是說，應花大力氣研究數學活動教訓，以及如何將教訓變成經驗.這才是數學活動經驗研究的真問題和好問題.

“數學活動經驗是學生從經歷的數學活動過程中獲得的感受、體驗、領悟，以及由此獲得的數學知識、技能、情感與觀念等內容組成的有機組合性經驗.”［5］數學活動經驗中顯然有數學知識、技能、情感與觀念等成分，這說明數學活動經驗的成分是復雜的.但這里的“有機組合性經驗”不容易理解.事實上，要弄清為什么要“組合”、怎樣“組合”、什么是“有機組合”、怎樣“有機組合”等問題很困難.這里能否得到這樣的啟示：數學活動經驗是一個框，什么都能往里面裝，而且框的東西還會相互作用、相互影響？

數學活動經驗是知識性成分、體驗性成分、觀念性成分的“組合體”［6］.“組合體”與上面的“有機組合”的意思差不多.研究者認為，把“組合體”改為“集合”，這里的“集合”可能是模糊集合或灰色集合，這樣改是否更貼切？經驗是一個模糊概念或灰色概念，其元素有的是明確的，但有些元素可能具有模糊性或灰色性.因此，把經驗看成（當成）模糊集合或灰色集合似乎更接近經驗的本質.

數學活動經驗包括認知性數學活動經驗、技能性數學活動經驗、體驗性數學活動經驗、觀念性數學活動經驗［7］.這里把數學知識排除在外，可能是誤認為“認知性數學活動經驗”包括知識經驗.但需注意的是，“認知”與“知識”是兩個不同的概念.此外，“認知性數學活動經驗”似有歧義，“認知性數學活動經驗”是指認知“數學活動經驗”，或者是指認知“數學活動”的經驗，還是指“認知數學活動”的經驗呢？這些是不太清楚的.可見，“認知性數學活動經驗”的說法有歧義.

“基本數學活動經驗是經學生自我反思的對多數學生均能起到指導其思維和操作進程的最核心的知識經驗、操作經驗（技能性經驗）、情感體驗、思考經驗和應用意識等.”［8］由此，數學活動經驗有知識、操作（技能）、情感體驗、思考和應用意識等成分.顯然情感體驗有正面的，也有消極的，比如，某學生對某個數學知識感到無聊或毫無興趣，這時的情感體驗能不能算經驗？研究者認為，消極的情感體驗不算經驗，算教訓.

郭玉峰、史寧中［9］認為，數學基本活動經驗包括“實踐的經驗”和“思維的經驗”.這里的“實踐的經驗”偏重于“數學外的世界”與“數學”互化的經驗，即“外部世界數學化”（如數學建模）、“數學用于外部現實”獲得的經驗.“思維的經驗”包括形象思維、邏輯思維和直覺思維的經驗.“思維的經驗”強調學生在數學符號化過程中獲得的經驗，偏重于理性思維的經驗，也應重視在解決問題中所獲得的思維策略的經驗.不論是“實踐的經驗”還是“思維的經驗”，都比較重視經驗積累的過程與效果.

上述研究都有一定道理，但還有一些問題值得探討.比如，小學（分低段、中段、高段）、初中、高中學生的數學活動經驗應有很多不同之處，理所當然該分類討論；數學活動經驗成分的劃分應該有一定的標準；數學活動經驗除了上述涉及的成分，還有沒有別的成分？在小學階段，應該更加關注可看、可聽、可演示、可動手操作的有直觀形象思維參與的感性思維的經驗，在中學階段應更關注有抽象邏輯思維參與的理性思維的經驗.下面主要針對初中、高中學生探討數學活動經驗的成分.

三、數學活動經驗的成分分析

數學活動經驗是一個比較廣泛（義）的概念，它可以分解成多個子概念.

1.數學活動經驗的主要成分

從上面的分析與探討不難看出，數學活動的核心是思維活動，數學思維活動既有思維過程（比較、分析、判斷、想象、推理、猜想、記憶等），又有思維結果（固化產品，如知識等），還有對思維策略與方法的成功體驗.數學活動經驗是學生在學習數學、理解數學、應用數學、發現或創造數學的思維過程中形成的.從數學活動經驗的形成過程看，它包含理解數學、應用數學解決問題（含應用意識）、數學技能、發現或創造數學，以及學生在學習數學、理解數學、應用數學解決問題、發現或創造數學之后的成功體驗等成分.從數學活動經驗的固化結果看，它既包含數學知識、數學技能、數學方法、數學思維方法等顯性成分，又包含數學觀念、數學態度、數學思想、數學素養、數學思維策略、數學理性精神、數學審美意識、對數學的積極的情緒體驗等隱性成分.此外，悟感是不受意識控制的經驗，它是經驗的重要成分.

2.數學活動經驗的非主要成分

（1）基因性經驗.

經驗是人與環境（或他人或自己）的相互作用中受到的感應.很多經驗是超越人類的、可以基因遺傳的［10］.瑞士科學家MaxPlanck在《Science》上發表的文章表明，后代不僅能繼承DNA本身，還能繼承表觀遺傳指示，這些表觀遺傳修飾像“出廠說明書”一樣指導后代基因表達.表觀遺傳標記可以代代相傳［11］.由此推斷，有些數學意識就深藏在某些數學基因的“出廠說明書”中，如“數感”（就像“語感”“樂感”“美感”一樣），有的人表現強烈，有的人表現一般，有的人表現微弱.人的“數感”凝聚在數學基因之中，然而它深藏不露［12］.在教學中對某些學生花大量時間或精力去培養“數感”，這顯然不符合因材施教的原則.因材施教的深刻意蘊就是數學教師要讀懂每個學生的數學基因的“出廠說明書”，然后依據數學基因的“出廠說明書”施教.但數學教師要讀懂這個數學基因的“出廠說明書”是極其困難甚至是不可能的，這是因為當下的腦科學、基因科學的水平遠遠辦不到，這就是因材施教實施困難最根本的原因.需要說明的是，教育的根本意義在于激發學生生命的潛能、迸發學習的力量，因此，不能因為某個學生的“數感”不強就“歸因”為他的“數感”基因不好，教師的師德也決不允許這樣做.即使他的“數感”基因不好，也應讓學生明白華羅庚總結的成功秘訣：“聰明在于學習，天才在于積累.”這里的“積累”當然就是數學經驗的積累.由此推出兩個結論：數學天才就是長期積累數學經驗的結果，數學學習可以把“笨”基因變成“聰明”基因.這不正是數學教育的強大力量嗎？受腦科學、基因科學的限制，研究者建議在探討數學活動經驗的成分時一般不考慮基因經驗.

（2）悟感是不受意識控制的經驗.

人具有本能［12］.本能以基因的方式傳遞人類的生活和文化經驗，并以不自覺的方式進入人們的生活和學習［12］.人的本能就是人的“身”與“心”協同一致的高度智能化系統.人的“身”“心”協同的高度智能化系統即經驗系統.人的經驗系統既受本能的控制，又受環境（包括文化）的控制（影響）.學習的本質是經驗的獲得、經驗的積累、經驗的改造和經驗的創生.外部知識的內化不外乎“在本能支配下結合大量無意識活動［12］”“依靠意識的建構方式同化和順應外部刺激（知識）［12］.”同化和順應是人類學習最根本的心理機制.因此，經驗的獲得同樣離不開同化和順應.經驗可以創造和生長，簡稱為創生.本能可以因經驗的積累而變化和發展.學習的根本目的在于優化本能和改造本能，讓本能更加強大.經驗的創生需要本能的參與和改變（造）.因此，經驗的產生需要本能（包括大量無意識活動）的參與，經驗包括智慧和德性的因素.

人類的創造性想象離不開經驗.蘇聯學者奧爾費耶夫認為，在創造性的想象過程中，也有潛在意識參與其中，在潛在意識領域中反映了主體的不受意識控制的經驗，這些經驗沒有表現為語言形式，或者雖然表現為語言形式但處于意識閾限之下.因此，潛意識的產生需要本能性的經驗，這些經驗沒有表現為語言形式.這說明，有些經驗真是“說也說不清楚”，甚至“不能說清楚”，從而，有的經驗具有“緘默性”的特點.需要說明的是，經驗既可以幫助和激發人的創造性，又可能抑制人的創造性.經驗為什么可能抑制人的創造性呢？一般而言，年齡越大經驗就越豐富，但科學發展史表明，青少年的創造性一般比老年人的創造性更強，這也就不難理解菲爾茲獎只頒發給40歲及以下的數學家的原因了.從而，過分強調經驗，對于培養創新人才可能并不明智.比如，在平面幾何教學中，用“剪一剪”“折一折”“量一量”等代替嚴密的邏輯推理，過分強調“剪一剪”“折一折”“量一量”等數學活動經驗的獲得，雖對學生理解幾何知識有益處，但對培養學生的邏輯思維和創新意識等是不利的.

悟感是不受意識控制的經驗.因此，悟感是經驗的重要成分.悟感是人的創造性活動的核心，而人的機體和功能的不斷創新和創造，是人存在和發展的依據.于是，為了保證創新不受干擾，大自然把作為創新的核心機制——悟感深藏在生命深處，它與生俱來，又和生命活動一齊發展.而且，它的無意識內容的特性，也恰好拒絕了外力以知識、說教形式的直接干預.悟感雖有本能屬性，但后天可以培養.悟感的培養對積累數學活動經驗非常重要，對培養數學創新意識尤顯重要，值得深入研究.