恒(能)成立問題的正確轉化

江蘇省高郵市第一中學

黃鵬程 (郵編：225600)

河北省邯鄲市第一中學馬進才老師的《雙變量的“任意性問題”與“存在性問題”辨析》[1]一文發表于《中學數學教學》2018年第6期(總第234期).不久前筆者剛好上過一節研究此類問題的專題課，因此，這篇文章引起了我的注意，閱讀之后很有收獲，不過文中有幾處論述感覺有待商榷，現予指出，歡迎同行批評討論.

為方便讀者，現將原文摘錄如下：

1 “?x,使得f(x)>g(x)”與“?x,使得f(x)>g(x)”的辨析

?x,使得f(x)>g(x)，只需h(x)min=[f(x)-g(x)]min>0

?x,使得f(x)>g(x)，只需h(x)max=[f(x)-g(x)]max>0

商榷1文章的標題指明討論的是雙變量的的“任意性問題”與“存在性問題”，而結論1辨析的對象明顯是單變量問題.

商榷2問題及結論中未給出定義域顯然是不妥當的.

商榷3結論中將問題簡單處理為“只需h(x)min=[f(x)-g(x)]min>0”欠妥，理由是函數h(x)的最小值未必可以取到.

例?x∈(0,1),2x>a-x2，求實數a的范圍.

解首先將問題轉化為“?x∈(0,1),x2+2x-a>0”，但由于h(x)=x2+2x-a在(0,1)上為增函數，故h(x)在(0,1)上沒有可以取到的最小值.這時便無法直接套用結論了.

實際上，我們在轉化問題時首先應解決這“?”、“?”兩個量詞的含義，“?”是全稱量詞，含義是“全部”、“所有”，“?”是存在量詞，含義是“存在”、“至少有一個”.

因此，第一個結論確切的轉化應該是“h(x)的所有函數值均大于0”，若函數值域中最小值端是閉的，即有最小值“h(x)min”，則問題可進一步轉化為“h(x)min>0”；若函數值域中最小值端是開的且為數值，為了區別，我們不妨稱之為“理想最小值”，記為“h(x)min*”，則問題就應該進一步轉化為“h(x)min*≥0”，這里需要注意的是，即使當h(x)min*=0時，由于h(x)min*實際不能取得，仍可保證“h(x)的所有函數值均大于0”.

第二個結論確切的轉化應該是“h(x)的函數值中至少有一個大于0”，若函數值域中最大值端是閉的，即有最大值“h(x)max”，則問題可進一步轉化為“h(x)max>0”；若函數值域中最大值端是開的且為數值，為了區別，我們不妨稱之為“理想最大值”，記為“h(x)max*”，則問題可進一步轉化為“h(x)max*>0”，注意結論不可以轉化為“h(x)max*≥0”，因為當h(x)max*=0時，由于h(x)max*實際不能取得，所以“h(x)的所有函數值均小于0”，從而不能保證“h(x)的函數值中至少有一個大于0”.

值得注意的是，當問題中“嚴格的不等關系”變為“不嚴格的不等關系”時，結論還要作相應的調整，詳見下文.

在筆者采用微探究[2]形式所上的專題課中，我和學生一起總結出含有量詞的問題多與求參數的范圍有關，解決此類問題的關鍵是：一要掌握量詞的含義，二要把握好問題的類型.簡單來說，有“?”符號的是恒成立問題，有“?”符號的是能成立問題，一類是不等式成立問題(為簡明起見，下文僅列舉大于型的不等關系)，另一類是等式成立問題.解決好單量詞單變量求參數范圍問題是進一步研究雙量詞雙變量求參數范圍問題的基礎.現將單量詞單變量求參數范圍問題概括如下：

1.恒不等問題：

(1)?x∈D,f(x)>m?f(x)min>m或f(x)min*≥m.

(2)?x∈D,f(x)≥m?f(x)min≥m或f(x)min*≥m.

2.能不等問題：

(1)?x∈D,f(x)>m?f(x)max>m或f(x)max*>m.

(2)?x∈D,f(x)≥m?f(x)max≥m或f(x)max*>m.

3.能相等問題：

?x∈D,f(x)=m?m∈A(設f(x)在D上的值域為A)

關于以上結論，有以下幾點說明：

第1，不等關系既有“恒成立問題”，也有“能成立問題”，相等關系只有“能成立問題”.(相等關系恒成立問題通常是求參數的值，與本文討論內容關系不大，故予排除)

第2，不等關系的求解策略可歸結為“能大求最大，恒大求最小；能小求最小，恒小求最大”，注意：此口訣適用的不等關系模型中均應是“函數在前，參數在后”.相等關系的求解策略可歸結為“研究函數的值域”.

第3，此類問題的解題策略其實都可以統一為“先求出函數的值域，再根據關系符號求出字母參數的范圍”，從而完全拋卻對結論的死記硬背和運用上的死搬硬套.也就是說在研究此類問題的轉化時，要牢牢扣住量詞本身的含義，而不必死記上述結論.不過，說明中的第二點(口訣)對于研究更為復雜的問題的正確轉化非常有幫助，因此仍予列出.

第4，此類問題也可能通過研究函數f(x)的圖象與直線y=m的位置關系直觀解決.

下面舉例說明如何研究更為復雜的雙量詞雙變量問題的正確轉化.為便于理解，我們可從最簡單的情況研究起，不妨假定函數f(x)與函數g(x)均有可以取得的最大(小)值.

例如“?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)≥g(x2)”應該如何轉化？

其實，我們可逐個來看，也就是說先看其中一個變量及其限定量詞和相應的函數.比方說，先看x1，其限定題量詞是“?”，對應函數是f(x1)，這時暫且將g(x2)看作m，這時問題可簡化看成“?x1∈D1,f(x1)≥m”，根據口訣“恒大求最小”，即可得出問題可等價于“f(x1)min≥m”；然后將f(x1)min記為n，則問題可進一步轉化為“?x2∈D2,n≥g(x2)”，根據口訣“恒小求最大”，即可得出問題可等價于“n≥g(x2)max”.將兩個方面聯系起來，就可得出原問題最終可轉化為“f(x1)min≥g(x2)max”.這種處理辦法的實質是“化雙為單”，“變多為少”，是數學里較為典型的減元(降維)思想，一下子使問題化難為易.

我們還可以繼續思考在條件變化后的以下情況中，結論應作怎樣的修改？

變1 如果函數f(x)只有“理想最小值”；

變2 如果函數g(x)只有“理想最大值”；

變3 如果函數f(x)只有“理想最小值”，同時函數g(x)只有“理想最大值”；

變4 如果將問題中的“≥”改為“>”；

變5 如果將問題中的“≥”改為“>”，分別加上變1-變3的條件；

雙量詞雙變量的問題可以歸結為以下類型：“任意-任意”型、“任意-存在”型、“存在-存在”型不相等問題；“任意-存在”型、“存在-存在”型相等問題.這些問題在馬老師的文中多有論及，不復贅言.實際上，所有這些類型問題均可以參考上述做法將問題分解為兩個單變量問題各個擊破.

“不等(相等)關系恒(能)成立求參數范圍”問題，其解決的核心要義在于問題的正確轉化，馬老師文中所給出的結論在不同情況下還要作相應的調整，其情形遠不止文中所列出的這幾個.個人的想法是與其要求學生花力氣去記住幾個并不通行的結論，倒不如和學生一起進行深入探討，通過對問題的“深度學習”，掌握其解決的本質方法來得更好.正所謂“授之以魚不如授之以漁”.一已之見，未必嚴謹全面，不當之處，敬請同行批評指正.