導數在高中數學函數中的應用

孫玘玥

摘 要：導數是高中數學的重要組成部分，在我們學習函數時，也需要利用導數求解函數問題。本文將結合個人的學習經歷及認識，探討導數知識在高中數學函數中的重要性，在此基礎上，研究導數知識在高中數學函數中的具體應用，包括應用導數知識判斷函數單調性、應用導數知識求解函數值域或最值問題、應用導數知識求解函數極值等。

關鍵詞：導數；高中數學；函數；應用方法

導數是研究函數局部性質的重要方法，代表函數曲線上某一點的變化率，在研究函數問題時，經常需要使用導數知識。因此，在平時的學習過程中，我們需要充分認識函數與導數的關系，在扎實掌握導數知識的基礎上，善于對其進行靈活應用，從而使許多函數問題能夠迎刃而解。在平時的學習和做題過程中，也需要不斷積累經驗，從而掌握導數知識在函數中的應用方法。

一、導數知識在高中數學函數學習中的重要性

導數又稱導函數，是一種特殊的函數類型，從其定義和引出過程中，都可以看到函數思想。在高中數學學習階段，導數知識的學習為我們解決不等式、切線、數列等問題提供了新的方法和途徑。近幾年來，導數知識在函數中的應用，也是高考試題的重點考察對象。無論從哪個角度來看，導數知識都在高中數學函數學習中占有重要地位。首先，導數是判斷函數單調性的重要方法，適用性較高，可以反映出函數某點附近的變化規律，將函數問題化繁為簡。其次，導數定義中引入了變化比值極限的概念，是函數解題的重要思想，對其進行深刻理解，可以幫助我們打破思維局限性。再次，導數求導法則可應用在兩函數乘積導函數、商的導函數和復合函數導函數等各個方面，能夠化簡大多數函數問題，是我們必須要掌握的解題方法。因此，必須提高對導數知識學習的重視，并掌握導數在函數解題中的應用方法。

二、導數知識在高中函數中的具體應用策略

（一）應用導數知識判斷函數單調性

如上所述，利用導數判斷函數的單調性，是導數知識在函數中的一個重要應用方向。以例1為例：求函數f（x）=x3+3/x的單調區間。可利用導數概念，確定函數的定義域，即（-∞，0）∪（0，+∞）。然后對題目中的函數進行求導，即f（x）=3x2-3/x2=3（x2+1）（x+1）（x-1）/x2，若導數大于零，則x的取值范圍為大于1或小于-1。如果導數小于零，則x取值范圍為大于-1小于0或大于0小于1。那么函數的遞增區間為（-∞，1）∪（1，+∞），遞減區間為（-1，0）∪（0，1）。從例1的解題過程中可以看出，采用導數解題方法，不需要進行傳統方法下的f（x1）-f（x2）的正負性判斷，而是直接對函數進行求導，確定遞增和遞減區間，確定函數定義域，再進行求導。

（二）應用導數知識求解函數值域或最值

在高中函數問題中，經常會遇到函數值域或最值求解問題，這也是高考中常出現的一類題型。在此方面，也可以利用導數的知識進行求解，而且解題過程較為簡單。同樣以一道例題進行說明，例2：試求函數y=（4x+3）/（x2+1）的值域。在此類問題中，通常采用判別式方法進行求解，首先將其轉為為yx2-4x+y-3=0，然后分為兩種情況進行討論，即y=0和y≠0的情況，如果未進行分類討論，則會得出錯誤答案。利用導數知識進行求解，首先確定原函數的定義域，由于x2+1恒大于0，因此函數定義域為（-∞，+∞）。進而可以對函數進行直接求導，得到y=[-2（x+2）（2x-1）]/（x2+1）2，令y=0，可以得出x=-2，或x=1/2。當x=-2時，y取得極小值，為-1，當x=1/2時，y取得最大值，為4.然后根據[limx→∞f（x）=limx→∞4x+3x2+1=0]，確定函數值域為[-1，4]。

上述題目解析過程中可以看出，由于導數知識的應用，使原題目中函數的值域求解問題轉化為導數計算問題，并通過判斷出函數的單調性，確定其值域范圍。這是由于函數在閉區間可導，可以方便的求取其在閉區間內的最值。合理運用這一性質，可以有效簡化函數值域問題的求解范圍，利用其解決更多函數問題。

（三）應用導數知識求解函數極值

利用導數知識求解函數極值，是導數概念以及極限值思想應用的集中體現，對我們的函數思想有重要的提升作用。應注重導數思想在函數極值求解問題的應用，明確其應用步驟，并對可能出現錯誤的地方加以注意。利用導數求解函數極值的關鍵步驟包括求出函數的導數f（x），然后求解f（x）=0的根，再根據方程根的左右值符號，確定函數的極大值或極小值。下面以例3為例進行說明：求解函數f（x）=1/3x3-4x+4的極值。在對這道題目進行求解時，根據上述流程，可對題目中的函數進行求導，其導數f（x）=x2-4=（x-2）（x+2），然后令f（x）=0，可以較為容易的求出根值為2和-2。再通過對x變化時的導數變化及函數變化進行分析，確定x=-2時函數f（x）取得最大值，為28/3，x=2時函數f（x）取得最小值，為-4/3。與傳統方法下的函數極值求解過程相比，這種方法步驟較少，而且過程計算簡單，不容易出錯。因此，積極利用導數方法對函數問題進行求解，不僅可以提高我們的函數解題速度，還有利于提升函數解題準確率。在我們平時的學習過程中，應關注于導數在函數解題過程中的應用，并熟練掌握其應用方法。

三、結束語

綜上所述，導數知識在高中數學函數求解過程中的應用，不僅可以使函數問題得到解決，而且過程簡單，可以縮短解題時間，從而讓我們在考試中節省更多時間去做其他題目或進行檢查。通過對導數在函數中的應用方法進行總結和分析，可以更加明確導數知識在函數中的應用思路，同時找到容易出現錯誤的地方，在實際應用中提高警惕，提升函數問題的解題準確率。

參考文獻

[1]蔡瑩.淺談導數在高中數學函數中的解題應用[J].考試周刊，2018（77）：94.

[2]韓紅梅.高中數學課程價值取向及導數在函數中的應用[J].考試周刊，2013（84）：57.