高中數學排列組合解題技巧分解

侯沛辰

摘 要：高中數學中的排列組合是一個重點知識，是計數原理中的一個偏難章節，同時也是許多實際問題的求解方法，需要靈活掌握其解題技巧。本文將結合筆者的自身學習經驗，首先對高中數學排列組合題目的分析方法進行簡單介紹，進而提出幾種解題技巧的實際運用，包括插空法、轉化法、間接法、對等法的應用等。

關鍵詞：高中數學；排列組合；解題技巧

排列組合問題求解對于我們的邏輯思維能力有較高的考驗，在扎實掌握基本概念公式和計算原理的基礎上，還要在解題過程中總結方法和技巧，從而達到事半功倍的效果。求解排列組合問題，首先要審清題意，不能盲目套用公式，否則容易掉進出題人設置的陷阱。雖然此類問題大多數能找到解題思路，但想要準確解答出結果并不容易。因此，有必要對其解題技巧進行研究，提高排列組合問題的求解效率和準確率。

一、高中數學排列組合題目的分析方法

在高中數學學習過程中，審題永遠是求解問題的第一步，只有采取正確的問題分析方法，才能找到求解問題的關鍵，從而利用題目已知條件順利求解出答案。在對高中數學排列組合問題進行分析時，可以按照一定的步驟系統化分析。第一步是對問題性質進行判斷，準確判斷題目到底是排列問題、組合問題、混合問題中的哪種類型。然后根據問題性質，確定解題模式，即判斷問題屬于加法原理還是乘法原理，從而正確選擇出問題的求解方法。在此基礎上，還要對題目附加條件進行詳細分析，不能放過任何一個有用條件，同時也不能受到干擾條件的影響。一般情況下，在排列組合問題中的附加條件主要是對元素位置進行限定，需要在分析過程中加以明確，否則容易出現重復或遺漏的現象，導致出現錯誤。通常的原則是：優先限制后一般，優先分類后分步，優先選取后排序，優先策略后其他。

二、高中數學排列組合題目的解題技巧

（一）插空法的運用

插空法是解決排列問題的常用方法，在對幾個元素按照要求進行排列時，采用插空法可以有效簡化排列過程。基本模型是不相鄰問題，即對某些元素提出不相鄰要求為限制條件，其基本思維是先將沒有限制的元素進行排列，然后再將有限制的元素插入到已經排好的元素序列中，從而滿足題目的要求。比如例1：教師組織學生到影院觀影，影院同排座位有12個，需要安排4名教師和8名學生，其中教師不能相鄰，且必須在學生之間，試求解有多少種排座方法。利用插空法進行求解，首先對沒有限制條件的“學生”進行排列，共有A88種方法，然后為4名教師安排空檔，根據題意，教師不能坐在兩邊，因此實際有7個空檔，共有A74種排列方法，所以最終的結果就是A88·A74種排列方法[2]，這是互異元素間的問題。

又如例2：有15盞燈，需關掉6盞，要求相鄰的燈不能關掉，兩端的燈不關掉，試求解有多少種不同的關燈方法。利用插空法進行求解，固定9盞亮燈的位置，由于兩端只能是亮燈，因此8個空插6盞燈，即C86種排列方法，燈的順序固定，不能用排列，而是用組合。

（二）轉化法的運用

轉化法也是在排列組合問題中常用的一種解題技巧，特別是在一些比較復雜和抽象的題目中，采用轉化法進行求解，可以幫助我們理清思路，避免出現錯誤。比如例3：某校高二年級共有9個班級，現要在高二年級中選拔11名學生會成員，要求每個班至少選出一人，試求解共有多少種選擇方法。這道問題由于與實際校園生活聯系起來，可能會增加我們分析問題的難度，可以對題目中的模型進行轉化，比如將其想象成“對11個白球分成9組”的問題，就可以快速理清解題思路。首先將11個白球排成一排，它們之間有十個空檔，“分組”可以看做在空檔中放入黑球，利用黑球將白球隔開。那么最終要求解的問題就是黑球有多少中插入方法，可以直接通過C108進行計算。

（三）間接法的運用

在求解組合類問題時我們會發現，往往題目有多少種排列方法，就會對應有多少種剩余排列方法，如果直接求題目中要求的排列方法難以計算，可以轉換思路，先求出剩余的排列方法，然后再進行求解。比如例4：口袋里裝有23個不相同的五分硬幣，10個不相同的一角硬幣，在口袋中取出2元錢，有多少種取法？這道題就是典型的直接求取很困難，而采用剩余法求解很簡單。通過計算將口袋里的全部硬幣取出金額可以得出，口袋里共有2.15元，現要取出2元，相當于留下0.15元。口袋里只有兩種面額的硬幣，即五分和一角，那么只有兩種情況，一是剩下3個五分硬幣，二是剩下一個五分硬幣和一個1角硬幣。但由于硬幣不同，所以最終的結果是有C233+C231C101種取法。

間接法的運用中還有一種方法，是排除法，主要針對一些難度較高的排列組合問題，采用正向思維，可能無法求解出問題的關鍵，此時就需要利用反向思維，通過采用排除法，降低問題求解難度。比如例題5：某班級學生總數為56人，現從班級中隨機抽取6人，要求數學、語文和物理課代表中至少有一人被抽取，問有多少種抽取方法。這道題目采取正常求解方法也較為麻煩，但是求解三科課代表都不在內的抽取方法較為簡單，即C536種，同時也可以確定完全隨機的抽取方法為C566種，從中減去三科課代表都不在內的情況，即可求出題目答案。

（四）對等法的運用

還有一些排列組合問題，題目中的肯定條件與否定條件相同，此時只需要求出所有的排列組合情況，然后除以2，即可得到最終結果。比如例6：高二年級的期末考試科目有8門，現要求將物理考試安排在化學考試之前，試問有多少種安排方法。在求解這道題目時，如果按照常規方法求解，非常麻煩。而通過仔細分析題意可知，題目中唯一的限制條件是物理考試要安排在化學考試之前，而物理考試和化學考試的先后順序只有兩種，題目要求的情況則占1/2。所以，只需要求解出所有排列方法，即A88種，然后再除以2，即可得到最終答案，求解過程非常簡單。

這里還要討論另一種題型與對等法的關系，這種題型是給出n個數，要求組成m位數的奇數或偶數個數，由于奇與偶，在我們的腦海里有對立對等的感覺，因此很容易聯想到利用對等法，但在實際運用中我們不難發現，并不是所有的這類題均可用對等法。這是為什么呢？原因在于數的性質不同。這類題型大致分成三類，第一類是給出的數中奇偶個數相同，這類題由于選出奇數與偶數方式完全相同，可以采用對等法，但偶數中不能有0，0不能排在首位；第二類是雖然奇偶個數相同，但出現了0，這類題由于0的特殊性，必須進行分類討論，但可以先采用對等式，再利用間接法，減去0排在首位的情況；第三類是奇偶個數不相同，也無法采用對等法，就只能利用分類討論進行計算，搞清楚分類，做題才能更準確，用時更少。

三、結束語

綜上所述，高中數學排列組合問題非常有特點，在解題過程中講究解題技巧的運用，通過對題目進行正確分析，采用合適的解題方法，可以有效降低解題難度，節省考試時間，同時也可以提升計算結果的準確率，一舉多得。因此，必須注重對排列組合問題解題技巧的總結和運用。

參考文獻

[1]高九明.淺談高中數學排列組合解題方法[J].課程教育研究，2017（40）：137.

[2]謝瀅欣.高中數學中排列組合問題的實際應用[J].數學學習與研究，2017（19）：134.