工科線性代數教學方法的思考

毛衛紅 張正娣

摘 要：《線性代數》是中國大學工科專業的重要公共基礎課之一，也是很多學生認為枯燥而且學不透徹的一門課程。文章從降低學習心理難度、提高學習興趣出發，對其教學方式、方法做了淺顯的探討。

關鍵詞：線性代數；教學策略；學習興趣

作為大學工科專業的必修課，《線性代數》也是學習其他后繼課程的重要工具之一。其主要研究內容是代數學中線性關系的經典理論，內容主要包括行列式，矩陣，線性方程組，向量組的線性關系，方陣的特征值理論以及二次型，線性空間（按照教學大綱屬于選學內容）。概念的高度抽象性和定理的邏輯推理性是它固有的特點，這在一定程度上造成了學生在理解上的困難，不易掌握教學內容；再加上較少的教學時數以及龐大的計算量，《線性代數》成了一門比較難學好的基礎課程。

經過多年的發展積淀，《線性代數》的教學內容、難易程度幾乎是不可以改變的。因此，教學過程的策略與方法變得尤為重要。鑒于有限的教學時數和教學工具，通過多年的教學實踐，筆者發現從如下思路和角度出發，在一定程度上會使學生對《線性代數》的學習變得不那么枯燥，甚至產生一定的興趣，提高學習效率，也為后繼學習做好鋪墊和準備。

一、 引入方式的策略

《線性代數》最初是由解決線性方程組的問題而產生的，而且線性方程組的概念、解的存在性以及求解方法貫穿于本課程的始終。因此本課程的前面部分都可以圍繞學生相對熟悉的線性方程組展開討論，體會各種新概念產生的依據，即將行列式、矩陣、向量組等概念作為研究線性方程組問題的工具、方法和手段。例如，線性方程組的定義可聯系矩陣的概念：決定線性方程組的系數和常數按照一定的原則做成的數表就是矩陣；利用高斯消元法求解線性方程組時用到的三種方法可聯系矩陣的初等行變換的概念；同時可以明顯地看到：矩陣的秩其實就是方程組中的有效方程的最少個數；最難以理解的概念——向量組的線性相關和線性無關，即考慮對應線性方程組是否含有多余方程的問題，對于齊次線性方程組而言，即考慮是否僅有零解的問題；而方程個數等于未知數個數的線性方程組的解的形式可聯系行列式的概念。這樣，線性方程組得到了全方位、多角度的詮釋，更重要的是通過從已有的熟悉的知識出發，讓學生從心理上降低了學習難度，不再排斥、抵觸這門課程，自然而然地進入新課程的學習。

二、 幾何工具的巧妙、合理應用

高度抽象是線性代數這門課的根本特點，將線性代數的概念用具體的、直觀的幾何形象加以解釋，從而在一定程度上克服抽象性的困難和形式上的障礙，加強直觀上的理解，建立感性思維，降低概念和定理在理解上的難度，達到提高教學質量以及學習效果的目的。例如，線性變換可轉化為幾何上空間中的點，也即向量的變換；正交變換就是保持空間圖形幾何形狀不變的變換（也可以看作是向量的旋轉變換）；對于矩陣相似對角化中用到的重要工具——特征向量，只從概念上理解很抽象，學生會覺得不知所云，但若用幾何的觀點解釋，就會非常清晰、簡單。以二維向量為實例，向量可以看作平面上的點，特征向量則可轉化為在某種線性變換下與自身共線的向量，特征值即經過線性變換后特征向量的伸壓系數；再比如，實對稱矩陣的相似對角化即實二次型的標準化，而實二次型的標準化問題，以二元實二次型為例，即二次曲線的坐標系的變換問題，這樣可易求得二次曲線的幾何量，如橢圓的長、短軸等；對于向量組的線性關系問題，則可以結合平面上的共線或者空間上的共面問題進行教學。

三、 注重探究式教學以及與學生的教學互動

盡管學時較少，在課程教學過程中也不宜采用填鴨式教學，需注重探究式教學，即探索、討論式教學，啟發式問答，師生互動，有目的地引導學生積極主動思考，尤其是采用已有的知識，自然地獲得新知識，達到融會貫通、舉一反三的效果。這在一定程度上能激發學生的求知欲，也能培養學生的觀察力和洞察力。例如矩陣的逆的定義、作用、存在條件都可以聯系數的逆的相關知識；矩陣的初等變換可借鑒行列式的三大性質；根據高等數學中非齊次線性微分方程和對應的齊次線性微分方程的解的關系，會更容易理解和掌握非齊次線性方程組和對應的齊次線性方程組的解的關系。

教學互動不僅僅適用于中小學生，在重點、難點之處適當地提問、被提問，適時地請同學在黑板上做題同樣適用于大學生，讓學生參與到教學過程中，不僅有利于及時發現、處理課堂問題，同時可以讓學生在思想上緊張起來，思維活動起來，知識也就自然地掌握起來。

四、 理論與實踐適當地結合

俗話說，興趣是最好的老師，而專業的數學教師相對缺乏對專業知識的了解及應用。同時，《線性代數》教材缺乏應用性，比較枯燥。教師如果通過身邊的實例和合適的科技案例，通過建模等方式讓學生初步接觸到線性代數與豐富的實際生活的聯系，不僅會加深理論知識的理解，而且有助于培養學以致用的能力。同時能拓寬學生的視野，活躍課堂氣氛，增加教學的吸引力，提高學習興趣，激發學生的學習熱情。

五、 結束語

鑒于《線性代數》在實際應用中的重要性，在課時允許的情況下，其教學如果可以從側重枯燥乏味的單純的課程內容轉向側重培養數學素質和數學思維，提高邏輯思維能力與創新能力，最終提高解決實際問題的能力，將會更值得期待。

參考文獻：

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作者簡介：毛衛紅，張正娣，江蘇省鎮江市，江蘇大學。