一種代數曲線的C3連續性條件

孫明燦，師 晶

（閩南理工學院 信息管理學院，福建 石獅362700）

在計算機輔助幾何設計中，單一的曲線曲面難以構成復雜的工業幾何造型，因此，我們通常采用曲線曲面拼接的方法來滿足實際需要。如何實現曲線間的光滑拼接已成為計算機輔助幾何設計（CAGD）的重要研究內容。

樣條插值方法是計算機輔助幾何設計中重要的曲線構造方法［1］。如Bezier曲線和B樣條曲線因其良好的幾何性質和逼近性質，成為曲線曲面設計的有力工具，然而它們不能描述拋物線以外的圓錐曲線［2］。有理Bezier曲線雖能精確描述二次曲線曲面，但是存在求導、求積不方便的問題［3］。此外，NURBS曲線的權因子選擇和參數化問題尚未完全解決，利用三角函數構造的曲線在局部調控曲線形狀時不夠靈活等［4-5］。這些缺點使得樣條插值曲線在曲線曲面設計中無法完全發揮優勢。

在本文中，我們研究了一種插值平面四點及兩端點切線的三次代數曲線達到C3連續性的條件，分析了這種代數曲線的性質，得出了曲線間的連續拼接條件。

1 基礎知識

給定R2中的四點及兩端點P1、P4處的兩條切線L1、L2，現構造一條三次代數曲線使其依次通過并且在端點P1、P4處的切線分別為 L1、L2。 設 L3是通過點 P2、P3的直線，L4是通過點 P1、P2的直線，L5是通過點 P3、P4的直線，L6是通過點P1、P4的直線，如圖1所示。直線的方程為

圖1 三次代數曲線 ()Cλ

直線 L1、L4和 L6的交點為 P1， 直線 L2、L5和 L6的交點為 P4，故有

代入式（4），可得

2 曲線性質

1）端點性質：該曲線插值于首、末兩端點，并且與控制三角形的兩……