離散哈密頓系統(tǒng)在極限圓型下的自伴擴(kuò)張的等價(jià)刻畫

劉 妍

（河海大學(xué)常州校區(qū) 基礎(chǔ)學(xué)部，江蘇 常州213022）

近年來，隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，出現(xiàn)了越來越多的以離散哈密頓系統(tǒng)為支撐的數(shù)學(xué)模型，因而，吸引了大批學(xué)者對離散哈密頓系統(tǒng)進(jìn)行研究。這些研究涉及離散哈密頓系統(tǒng)的特征值問題、親結(jié)構(gòu)、Weyl-Titchmarsh理論以及自伴擴(kuò)張等［1-8］。REN G.J.和 SHI Y.M.等［6］給出了一類一端奇異離散線性哈密頓系統(tǒng)在極限圓型時(shí)其最小子空間的任一自伴子空間擴(kuò)張的表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，筆者運(yùn)用線性關(guān)系理論，利用離散哈密頓系統(tǒng)的解，導(dǎo)出了一類一端奇異離散線性哈密頓系統(tǒng)在極限圓型時(shí)其最小子空間的任一自伴子空間擴(kuò)張的等價(jià)刻畫。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

本文將研究如下奇異離散哈密頓系統(tǒng)：

P(t)可以表示為如下分塊矩陣：

為了保證系統(tǒng)（1）的初值問題解的存在唯一性，給出假設(shè)1）：對任意的是可逆矩陣。

下面引入系統(tǒng)的最大、最小子空間，并給出系統(tǒng)（1）解的一些性質(zhì)。

定義空間

和半純量積

由系統(tǒng)（1）生成的自然差分算子為

為了得出系統(tǒng)（1）解的確定性條件，再給出假設(shè)2）：存在有限子區(qū)間使得對某個(gè)和系統(tǒng)（1）的任意非平凡解有

REN G.J.等［8］證明了假設(shè) 2）成立的充要條件是對任意的存在唯一的使得其中故對任意的也可以記為

2 幾個(gè)引理

引理 1［6］：若假設(shè) 1）和 2）成立，則對任意滿足的有限區(qū)間和存在，使得邊值問題

引理2［6］：若 假 設(shè) 1）和 2）成 立 ，在處為極限圓型，對任意的系統(tǒng)（1）有個(gè)線性無關(guān)解且滿足

且有

3 主要結(jié)果

定理1：若假設(shè)1）和2）成立，的一個(gè)自伴子空間擴(kuò)張當(dāng)且僅當(dāng)