關于不定方程x2-5y4=236

劉 杰

（三明醫學科技職業學院人文教育學院，福建 三明 365000）

關于不定方程x2－Dy4=C(其中D，C為給定的整數，且D〉0為非平方數)曾有多人研究。設N(D，C)為方程x2－Dy4=C的正整數解的組數，文獻[1]證明了以下幾個結果：N(5，44)=1，(x，y)=(7,1)；N(5，11)=2，(x，y)=(4，1)和(56，5)；N(5，－44)=3，(x，y)=(6，2)，(19，3)和(181，9)。文獻[2-4]證明了在y≡0(mod8)時，N(2，17)=0，N(2，41)=0，N(8，17)=0，N(2，97)=0。 文獻[5-7]證明了 N(3，97)=1，(x，y)= (10，1)。 文獻[8]證明了 N(3，397)=1，(x，y)=(20，1)。

本文利用遞推序列、同余式和平方剩余的方法證明了不定方程x2－5y4=236僅有正整數解(x，y)=(271，11)。

1.定理及證明

僅有正整數解(x，y)=(271，11) 。

證明：首先考慮方程 x2－5y2=236，其全部整數解由以下6個結合類給出：

1.1 討論結合類(2)(3)

因為兩個結合類±(Xn+Yn)和±()是共軛的，而Yn=Y-n,

由于(Un+Yn)=(9+4)n，所以如果(1)式有解則應滿足 y2=±(2Un+16Vn)(n∈Z)或 y2=±(2Un-16Vn)(n∈Z)。 但當 n≥0 時,2Un+16Vn〉0，n〈0 時，2Un+16Vn〈0；n〉0 時，2Un-16Vn〈0，n≤0 時，2Un-16Vn〉0。

因此(1)式的解可歸結為：(ⅰ)Yn=y2=2Un+16Vn（n≥0）或 (ⅱ)Yn=y2=－2Un+16Vn(n〉0)

亦即只要證明 Yn=2Un+16Vn或 Yn=－2Un+16Vn是否是一個完全平方數。

可以驗證以下3組關系式成立：Un+2km≡(-1)kUn(modUm),Vn+2km≡(-1)kVn(modUm) ③

情形(ⅰ)Yn=2Un+16Vn（n≥0）

由關系式①對{Yn}取模3得剩余類序列周期為 4，當 n≡0，3(mod4)時 Yn≡2(mod3),因為（2/3）=-1(其中(a/p)表示 jacobi符號)，所以 Yn不可能是一個平方數，從而使Yn=y2=2Un+16Vn無整數解，以下排除的數都是據計算 (a/p）=-1得出Yn不可能是一個平方數，從而使y無解。剩n≡1,2(mod4)等價于 n≡1,2,5,6(mod8)。 取模 7得剩余類序列周期為 8,當 n≡1,6(mod8)時 Yn≡5,3(mod7)使Yn不是一個平方數。

取模23得剩余類序列周期為8,當n≡5(mod8)時，Yn≡10(mod23)使 Yn不是一個平方數。剩 n≡2(mod8)等價于 n≡2，10(mod16),取模 1103得剩余類序列周期為 16，當 n≡2(mod16)時，Yn≡371(mod1103)使 Yn不是一個平方數,取模 47得剩余類序列周期為 16，當 n≡10(mod16)時，Yn≡30(mod47)使Yn不是一個平方數。所以此情形對所有n都使Yn不是一個平方數，從而y無解。

情形(ⅱ)Yn=y2=-2Un+16Vn(n〉0)

對 {Yn}取模3得剩余類序列周期為 4，當n≡2,3(mod4)時 Yn≡2(mod3),因 為 （2/3）=-1(其中(a/p)表示 jacobi符號)，所以 Yn不可能是一個平方數，從而使Yn=y2=-2Un+16Vn無整數解。剩n≡0,1(mod4)等價于 n≡0,1,4,5(mod8)，取模 7 得剩余類序列周期為 8，當 n≡0,5(mod8)時，Yn≡5,3(mod7)使 Yn不是一個平方數。剩 n≡1,4(mod8)等價于 n≡1,4,9,12(mod16),取模 47得剩余類序列周期為 16,當 n≡1,4(mod16)時,Yn≡46,20(mod47),取模1103得剩余類序列周期為16,當 n≡9(mod16)時 Yn≡1057(mod1103)使 Yn不是一個平方數。剩 n≡12(mod16)等價于 n≡12,28(mod32),取模3167得剩余類序列周期為 32,當n≡12(mod32)時,Yn≡2743(mod3167)使 Yn不 是按個平方數。取模2207得剩余類序列周期為32,當n≡28(mod32)時，Yn≡2086(mod2207)使 Yn不是一個平方數。由以上所證此情形對所有n都使Yn不是一個平方數，從而y無解。

1.2 討論結合類(4)(5)

如果(1)式有解則應滿足 y2=±(5Un+19Vn)(n∈Z)或 y2=±(5Un-19Vn)(n∈Z)， 但當 n≥0時,5Un+19Vn〉0,n〈0 時 5Un+19Vn〈0；n〉0 時 5Un-19Vn〈0,n≤0 時,5Un-19Vn〉0,

因此 (1)式的解可歸結為：(ⅰ)Yn=y2=5Un+19Vn（n≥0）或(ⅱ)Yn=y2=-5Un+19Vn(n〉0)。

情形(ⅰ)Yn=5Un+19Vn（n≥0）

由關系式①對 {Yn}取模3得剩余類序列周期為 4，當 n≡0，3(mod4)時，Yn≡2(mod3),得出 Yn不可能是一個平方數，從而使y無解。剩n≡1,2(mod4)等價于 n≡1,2,5,6,9,10(mod12)。 取模 17得剩余類序列周期為 12,當n≡2,6,9(mod12)時,Yn≡14,5,12(mod17)，取模107得剩余類序列周期為 12，當 n≡5(mod12)時，Yn≡31(mod107)使 Yn不是一個平方數。剩下n≡1,10(mod12),等價于n≡1,10,13,22(mod24)。取模7得剩余類序列周期為24,當 n ≡10,13(mod24)時 ,Yn≡3,5(mod7)， 取 模103681得剩余類序列周期為24， 當n≡22(mod24)時 ，Yn≡103118(mod103681)使 Yn不 是 一個平方數，從而剩下n≡1(mod24)。

又由前剩n≡1,2(mod4)等價于n≡1,2,5,6,9,10,13,14,17,18(mod20)。取模41得剩余類序列周期為 20,當 n≡6,17,18(mod20)時有 Yn≡30,11,24(mod41),取模2521得剩余類序列周期為20,當n≡2,13,14(mod20)時有 Yn≡2173,1343,1137(mod2521),取模61得剩余類序列周期為20,當n≡9(mod20)時有Yn≡30(mod61)使Yn不是一個平方數。剩下n≡1,5,10(mod20)等價于 n≡1,5,10,21,25,30(mod40)。取模 7得剩余類序列周期為 40,當n≡5(mod40)時有 Yn≡5(mod7),取模 23得剩余類序列周期為 40,當 n≡10,21(mod40)時有 Yn≡11,17(mod23),取模 241得剩余類序列周期為40,當 n≡25(mod40)時有 Yn≡234(mod241)使 Yn不是一個平方數。剩下n≡1,30(mod40)等價于n≡1,30,41,70(mod80)。取模47得剩余類序列周期為80,當 n≡41,70(mod80)時有 Yn≡20,46(mod47),取模1103得剩余類序列周期為80,當n≡30(mod80)時有 Yn≡540(mod1103),使 Yn不是一個平方數。剩下n≡1(mod80)結合前面 n≡1(mod24)則n≡1(mod120)才使Yn可能是一個平方數。

當 n≡1(mod120)，x≠1 時，設 n＝1＋2×3×5×2t×k(k≡1(mod2),t≥2）

令 m=15×2t，由關系式②、③

k≡3(mod4)時

由于 U2m≡1(mod8),設 2s|Vm,則

對U2m取模271，得剩余類序列周期為45。按m的取法 2m≡15,30(mod45),此時有 U2m≡135(mod271)。 由于(135/271)=-1 與（y2/U2m）=1 矛盾,所以這時Yn不是一個平方數，使y2=5Un+19Vn無解。當n=1時，得到y=11,從而得(1)式的一組正整數解（x,y）=(271,11)。

情形(ⅱ)Yn=-5Un+19Vn(n〉0)

對{Yn}取模3得剩余類序列周期為4，當n≡2,3(mod4)時，Yn≡2(mod3),Yn不可能是一個平方數，從而使Yn=y2=-2Un+16Vn無整數解。剩n≡0,1(mod4)等價于 n≡0,1,4,5(mod8)，取模 7得剩余類序列周期為 8,當 n≡1(mod8)時，Yn≡3(mod7),取模23得剩余類序列周期為 8,當 n≡4,5(mod8)時，Yn≡5,15(mod23)。 剩 n≡0(mod8)等價于 n≡0,8(mod16)，取模7得剩余類序列周期為8,當n≡1(mod8)時，Yn≡3(mod7),取模23得剩余類序列周期為8,當n≡4,5(mod8)時，Yn≡5,15(mod23)，所以此情形對所有的n均使Yn不是一個平方數，從而y無解。

1.3 討論結合類(6)(7)

如果(1)式有解則應滿足 y2=±(11Un+29Vn)(n∈Z)或 y2=±(11Un-29Vn)(n∈Z)。 但當 n≥0 時,11Un+29Vn〉0,n〈0 時 11Un+29Vn〈0；n〉0 時 11Un-29Vn〈0,n≤0 時,11Un-29Vn〉0。

因此 (1)式的解可歸結為：(ⅰ)Yn=y2=11Un+29Vn（n≥0）或(ⅱ)Yn=y2=-11Un+29Vn(n〉0)

情形(ⅰ)Yn=11Un+29Vn（n≥0）

對{Yn}取模8得剩余類序列周期為2，當n≡0,1(mod2)時，Yn≡3,7(mod8),為模 8 的平方非剩余。故此情形無解。

情形(ⅱ)Yn=y2=-11Un+29Vn(n〉0)

對{Yn}取模8得剩余類序列周期為4，當n≡0,2(mod4)時，Yn≡5(mod8),為模 8的平方非剩余。取模3得剩余類序列周期為4，當n≡1(mod4)時，Yn≡2(mod3),為模 3的平方非剩余，剩下 n≡3(mod4),等價于n≡3,7(mod8)。取模7得剩余類序列周期為 8,當 n≡3(mod8)時，Yn≡5(mod7)。 取模 23得剩余類序列周期為 8,當 n≡7(mod8)時，Yn≡15(mod23),此情形對所有的n均使Yn不是一個平方數,從而y無解。

通過以上的討論知(1)式只有正整數解（x,y）=(271,11),證畢。