分數Kelvin型粘彈性介質中波的頻域分析

高云飛

（信陽師范學院建筑與土木工程學院，河南 信陽 464000）

近年來，分數導數理論在機械、生物力學、復合材料及粘彈性材料等研究領域得到了廣泛應用。孫海忠[1]對高分子材料的蠕變、松弛等力學行為試驗數據進行了比較，對比了傳統粘彈性模型和分數階粘彈性模型對數據擬合的差別，闡述了分數階粘彈性模型在描述材料粘彈性性能等方面的優越性。劉林超[2]等建立了用分數微分算子表達的分數階粘彈性模型，并對服從這種分數階粘彈模型材料的阻尼性能做了分析。楊小軍[3]使用廣義分數微分算子建立了帶有多個參數的冪律核函數的分數階導數（包括局部分數階），并推導了廣義分數微分算子描述的粘彈性基本元件；通過基本元件的相互組合，對含有廣義分數微分算子的粘彈性模型的力學行為進行了分析。由于分數階模型在表達復雜介質性能上的有效性，Yury[4]等采用漸進公式，對粘彈性介質中的波動方程進行了分析，沒有應用分數微積分理論，利用漸進公式克服了數學推導中的一些難題。Sanja[5]等，用分數階齊納模型取代經典彈性方程中的胡克應力應變關系，通過對方程向s域的變換，并利用積分公式變換到時域，得出了應力波位移的時域解，分析了分數齊納模型描述的應力波位移解的特點。本文針對類似的應力波系統，采用分數Kelvin模型代替經典彈性方程的應力應變關系，在頻域下求解了分數Kelvin模型描述的應力波位移解的形式，分析了分數階數以及頻率對位移解的影響。

1.分數Kelvin型波動方程的建立

許多巖土材料，譬如土壤和巖石[6]等，其內部結構往往是由復雜介質構成，傳統的粘彈性模型不能準確表達其真實的應力應變關系。本研究考察了波在這類復雜介質中的傳播。標準的彈性方程可以表示為[7]：

其中，方程（1）為運動平衡方程，式中 σ，u為應力和位移。方程（2）是彈性體的本構方程，也就是經典的胡克定律，其中E為楊氏模量，ε代表應變。方程（3）是在系統滿足小變形假設情況下，描述系統的應變位移關系。

我們的討論是把材料看作復雜粘彈性介質，在傳統的彈性理論中，經典的胡克定律不能準確描述粘彈性體的性質。為此，我們把方程（2）用分數Kelvin型應力應變關系取代，用來描述粘彈性復雜介質的性質，即[8]：

上式即為粘彈體的分數Kelvin型本構關系，其中，Da是 Riemann-Liouville型分數導數[9]，表達式為：

其中，0〈a〈1，Г(z)為 Gamma 函數，表達式為：

Da[f(x)]的laplace變換為：

由上可知，分數Kelvin型粘彈性介質中的波的分析模型為：

系統的初始條件設為：

邊界條件：

2.波動方程的求解

對方程（4）進行laplace變換：

將（3）式帶入上式：

將上式（12）帶入運動方程（1）可得：

由初始條件（9），方程（13）寫為[6]：

對（14）式作 laplace變換：

對式（15），我們令：

則式（15）變為：

上式為二階常系數線性非齊次微分方程，其解為：

利用初始條件，令su0(x)+v0(x)=1，上式變為：

式中：

（18）式即為分數 Kelvin型粘彈介質中波的頻域解形式。

3.數值算例

由（17）式我們得到頻域里的位移解析解形式，這里分析波在譬如土壤和巖石這種復雜介質中的位移解的變化特點。利用MATLAB（9.0；R2016a）數值分析軟件，先令頻率分別為（10,20,30,50）時，分析波動位移隨著橫坐標x值的變化，在不同頻率下的應變響應，如下圖。

由圖1可以看出，角頻率對位移變化的影響很明顯。在頻率較小時，位移值在x較小時會出現較大的震蕩；隨著x的增大，位移幅值慢慢減小并逐漸趨于零；隨著頻率的增大，位移的變化幅度出現明顯減弱，并會很快趨于穩定。

在低頻時（ω=5），當頻率為一穩定值時，分別對分數Kelvin模型取不同分數階數值，位移值隨x的不同的變化曲線如圖2。在頻率較小，α=0.2時，位移呈現出明顯的波動，隨著x值的逐漸增大，位移的波動慢慢減弱，最后穩定趨于零。而在α值接近于 1時，即 α 值取 0.4、0.6、0.8，相應的位移幅值會出現顯著減小，而且趨于穩定的速度變快。

圖3為不同位置的x處，位移隨頻率的變化曲線。圖4為不同分數階數值α對相同位置x處位移的影響曲線。由圖3知不同位置x處的位移隨頻率的變化情況基本一致，而在圖4中我們發現，在相同位置下的位移值會隨著α值的不同發生明顯改變。

4.結論

（1）通過對頻域下的波動方程位移解的分析發現，分數導數階數值α以及頻率的高低都會對位移值產生很大的影響。對于傳統粘彈性模型來說，分數階模型能更好地體現應力波在復雜粘彈介質中的擴散。

（2）除了土壤、巖石等巖土材料之外，分數階模型在復雜介質中的應用還包括超聲波在生物組織中的擴散、地震波[6]在土壤巖體中的傳播以及在地質、環境工程[10]和水利工程等領域的研究。