基于三次多項式的蔡氏電路設計與硬件實現

呂恩勝

(河南應用技術職業學院機電工程學院，河南 鄭州 450042)

從混沌科學與技術的發展歷史來看，自1963年洛倫茲首次提出混沌[1]觀念，到1980年林森第一次在電子電路中觀察到混沌現象[2]，歷時17年。三年后的1983年蔡少棠發明蔡氏混沌電路[3,4]，再到1992年Oppenheim、Kocarev提出混沌遮掩保密通信[5]，歷時9年，但是至今再無重大突破。受這樣的形勢局限，混沌電路科技工作者的研究重點之一是尋找更多的混沌電路系統，結果是發現了很多新系統，雖然數量較多但是沒有較大突破。因此，對于現有經典混沌電路成果的系統深入研究尤為重要，是有意義的工作。

近年來一些學者對經典蔡氏電路進行研究，采用正弦函數[6]和分段線性函數[7]來代替蔡氏電路中的蔡氏二極管從中獲得雙渦卷和多渦卷電路，還有學者用諸如指數函數等一類更光滑的連續函數來產生蔡氏混沌電路，都取得了一些進展。本文設計一種用三次多項式產生雙渦卷蔡氏混沌電路，是對蔡氏電路的有益豐富，也有助于研究蔡氏電路混沌動力學特性。

1.典型蔡氏電路狀態方程

歸一化蔡氏電路方程[3,4]

其中f(x)是非線性部分，為

f(x)是典型蔡氏電路方程的非線性部分，物理實質是非線性負電阻。通常，式(1)系數取如下值[3,4]：α=9，β=14+2/7，GA=-8/7，GB=-5/7。圖 1 所示為f(x)的五折段蔡氏二極管曲線，其中：-Eb、-Ea、Ea、Eb為轉折點。

2.三次多項式蔡氏電路設計及其混沌機理分析

2.1 三次多項式蔡氏電路設計

非線性部分f(x)即式(2)或(3)，用三次多項式代替，非線性項即為變量x的三次方，非線性項為

將式(4)帶入式(1)，合并同類項，除 x3為三次方非線性項，其余均為線性項，新的三次多項式蔡氏電路方程為

設式(4)中常數 a，b取如下值：a=-1.25，b=0.1，圖2為三次多項式h(x)曲線圖。此外，取典型蔡氏電路方程參數α=9、β=14.3，系統可以產生混沌特性，式(5)方程可寫為

圖2 三次多項式h(x)曲線圖

2.2 三次多項式形式蔡氏電路平衡點及其特征指數

當 a=-1.25，b=0.1時，式(5)有三個平衡點，分別為 P0、P+、P-，由式(5)代數方程的解得，并將平衡點的坐標有效值取到6位有效數字，即x=sqr(2.5)=1.58114，得

三個平衡點是與參數α、β無關的常量。

當 a=-1.25，b=0.1，式(5)的 Jacobi矩陣的特征值為

當 α=9，β=14.3，J 在 P0、P+、P-三個子空間中的Jacobi矩陣分別是：

計算時取 α=9，β=14.3，x=0 及 x=1.58114，得到上面3個平衡點中第1個平衡點J0的Jacobi矩陣特征值為：λ1=3.2922，λ2、3=-1.0211±2.9548i，第 2、3個平衡點 J+、J-的 Jacobi矩陣特征值為：λ1=-5.7442,λ2、3=0.1221±3.3448i，根據混沌特性[8]可知在平衡點J0形成指標1鞍焦點，該處演變成鍵帶，在平衡點J+、J-處形成指標 2鞍焦點，該處演變成渦卷。

固定 β=14.3，改變α值，研究三次多項式蔡氏電路的混沌演變過程，用matlab仿真式(5)，仿真時（x，y，z）初始值為（1，0，-1），時間設為 500步。觀察相圖時拋去前面的400步，改變α值，觀察到穩定焦點、周期 1、周期 2、周期 4等，并進入單渦卷混沌、雙渦卷混沌至單葉極限環。對應的α值為表1所示，可以觀察三次多項式蔡氏電路的混沌演化經歷：穩定-周期-混沌-極限環，過程如圖3所示。

圖3 蔡氏電路通往混沌的道路

2.3 三次多項式形式蔡氏電路仿真

用simulink軟件仿真三次多項式蔡氏電路方程非線性部分的h(x)表達式，而不是非線性部分的f(x)表達式。圖4是用simulink建模的三次多項式蔡氏電路，圖中product為三次多項x3項，圖5是三次多項式蔡氏電路采用式(6)的參數，（x，y，z）初始值為（1，0，-1），仿真得到的 xy、x-z、y-z相圖。

圖4 三次方形式蔡氏電路系統仿真圖

圖5 三次方形式蔡氏電路系統仿真相圖

3.三次多項式蔡氏電路設計與試驗結果

采用文獻[8、9]提出的模塊電路設計混沌電路原理，式(6)中除x3為非線性項，在圖6中利用兩個乘法器級聯實現，即虛線框的三次方項，其余個項為線性項，利用反相積分器、反相加法器和反相器模塊電路，對照式(6)各狀態各變量的關系，將各模塊電路聯結起來即構成圖6所示的三次多項式蔡氏混沌電路。

圖6 三次方形式蔡氏電路原理相圖

電路分析：集成運放A1輸出端是x，則集成運放A2輸出端是y，集成運放A3輸出端是z，電阻R9左端是x3，集成運放A4輸出端是-9y，集成運放A5輸出端是-x，而集成運放A6輸出端是-x-z，對照式(6)系數，調整 A1、A2、A3輸入端各電阻阻值與式(6)系數對應，得知已經實現了三次多項式蔡氏電路的功能，示波器觀察的相圖如圖7所示。

圖7 三次方形式蔡氏電路硬件電路相圖

4.結論

本文針對蔡氏電路系統方程非線性項的特點，設計一種三次方多項式代替非線性項。通過對三次方多項式蔡氏電路系統方程的特征分析，利用數學軟件simulink對系統模型進行數值計算仿真，觀察到系統經過 “穩定-周期-混沌-極限環”的演變道路。通過觀察和分析上述混沌特性，并結合硬件電路實驗驗證結果，證實本文提出三次多項式的蔡氏電路設計是有效的，是對蔡氏電路的有益豐富。