多星系統的本質之美
——質心在行星運動中的應用

郭曉春

（華中科技大學附中，湖北 武漢）

今年高考中的兩星問題成為物理選擇題的壓軸題。熟悉此類問題的學生輕松得分，贏得了大量的寶貴時間，而部分學生卻茫然無措，甚至痛失分數。為了能夠更好地幫助學生應對此類問題，我總結歸納了雙星問題的解題技巧并將其提升到多星角度，希望能對大家有所裨益。

首先我們來研究雙星問題的一般“套路”和可以幫助我們解決大多數問題的二級結論。設雙星質量為m1、m2，各自做圓周運動的角速度為 ω1、ω2，半徑為r1、r2，雙星之間的距離為L，所受向心力為F1、F2。

雙星問題的最大特點為：（1）互相繞著運動的角速度相等。（2）受萬有引力（向心力）相等。

再來看今年全國一卷的高考題20題。已知ω，L則根據上面所得關系，由二級結論則推出G=ω2L3可知質量之和；v1+v2=ω（r1+r2）=ωL故可知速率之和。故選B、C。部分考生此題丟分的關鍵在于誤選D選項。將其等價為各自角速度而忽略“自轉”關鍵詞。一般在雙星問題中，我們難以得到與星體自轉相關的結論。只要稍加小心，這樣的丟分是完全可以避免的。

而要想徹底破解雙星問題的奧秘并解決多星問題，我們所需要的不僅是熟悉二級結論解題套路，更要抓住問題的核心：質心。

我們從上面的結論中不難發現，在雙星問題中，有一個關鍵位置——即兩顆行星成圓周運動的共同圓心，也恰好是這個系統的質心。

下面我們利用三星系統來檢驗和進一步體會質心在解決此類問題中的作用。

以正三角形三星系統為例，邊長為a，如圖第一步，我們找到這個系統的質心。在CD上取A點，使，在CB上取E點效仿A點，并取兩條線的交點即為質心。

第二步我們找到這個三星系統的不動點，即三顆星系統之穩定圓周運動的位置。以m1為例，由力的平行四邊形法則∴ 合力的方向為。由此可見，在此三星系統中，“不動點”與“質心”依然重合。

那么，得到了這個有趣的結論，可以如何幫助我們解決問題呢？

1.推而廣之，質心的概念在高中學習中似乎少有涉足，但實際上在行星運動問題、動量問題中的人艇模型和圓周問題中的兩木塊牽引旋轉問題中都有體現，可實現快速解題。因為“質心不動”是解決大部分問題的終南捷徑。

2.在多星問題上，它可以幫助我們判斷三星乃至多星系統能否穩定存在。一個多星系統要想穩定存在，必須具備兩個條件：（1）每顆星受到的合力必須指向質心；（2）每顆星必須以相同的角速度繞質心旋轉。下面舉反例來方便學生更好地理解。

探究等腰直角三角形三星系統是否穩定存在。取特殊情況，三星質量均相等，邊仍為a。由幾何知識易知，A點為系統的質心。然而對B點行星，合力方向不指向質心，故該三星系統無法穩定存在。

通過上面的學習，相信大家已經對“質心”有了更深一層的了解。其實，不只是通常意義上的多星問題，行星衛星繞地球或太陽運動的問題其實也是雙星問題，同樣有類似的結論和規律。只是在高中的學習中將其簡化，由于兩星質量相差巨大，近似地認為質量較大的行星不動，這也是由于系統質心較為靠近質量較大的行星的質心。

對“質心”的研究，功利地說，是幫助學生深化對二級結論的理解和提高多星問題的解決速度，但更深層次上，是對物理學問題中隱藏的客觀規律的探索與挖掘。根據文中的提示，希望學生可以獲得一種新的眼光去審視物理題目，感受物理學的趣味并征服一切與之相關的題目。