比例的性質在證明線段相等中的應用

張俊忠

【內容摘要】證明線段相等是初中幾何常見的問題，利用比例的性質是解決此類問題的一種方法。通過比例的性質證明線段相等常常要利用平行線分線段成比例定理、三角形相似找過渡比，然后證明線段相等。

【關鍵詞】比例的性質平行線的性質相似三角形

在初中幾何的學習中，涉及到證明線段相等的問題是很多的。當然證明線段相等有許多方法，本文重點論述怎樣利用比例的性質去證明線段相等。實際上利用比例的性質證明兩條線段相等，主要分兩種情況。現在設a、b、c、d表示四條線段：（1）要證明線段a=b，如果ac=bc ，那么就有a=b;（2）要證明線段a=b，如果ac=bd，且c=d，那么就有a=b。對于第一種情況，關鍵是要找線段c;對于第二種情況，關鍵是找相等的線段c和d。下面舉例說明。

例1：如圖1，在梯形ABCD中， AB∥CD，對角線AC、BD交于O，過點O作EF∥AB，分別交AD、BC于E、F，求證：OE=OF.

分析：要證明OE=OF，怎樣找線段c，使得OEc=OFc呢？顯然在此題中，c既可以取AB，也可以取CD。利用平行線分線段成比例定理及三角形中一邊平行線的性質，就可以解決此問題。

證明：在 ΔDAB與 ΔCAB中

∵EF∥AB

∴OEAB=DEDA，OFAB=CFCB

∵CD∥AB∥EF

∴DEDA=CFCB

∴OEAB=OFAB

∴OE=OF

此題結論可以推廣：如圖2，在梯形ABCD中，? AB∥CD，E為AD上一點，過E作EF∥AB? 分別交AC、BD、BC于G、H、F，求證：EG=FH.

例2：如圖3，在RtΔABC 中，∠C=90°，在BC上任取一點D，連接AD，以BA為邊向外作∠BAE=∠CAD，過點B作AB的垂線交AE于點E。再過點E作EF⊥CB，交CB的延長線于點F，求證：CD=BF.

分析：例1是根據平行線分線段成比例定理及三角形中一邊平行線的性質，找出了成比例的線段。顯然此題要根據三角形相似的性質去找成比例的線段。實際上能夠觀察出ΔACD∽ΔABE，ΔACB∽ΔBFE，于是可以得到CDAC=BEAB，BFAC=BEAB故可以推出CD=BF，證明略。

例3：如圖4，AD、CF是ΔABC的兩條高，在AB上截取AP=AD，過點P作PQ∥BC，交AC于Q，求證：PQ=CF.

分析：此題很難去找一條線段c，使得PQc=CFc，但是題目條件中有AP=AD，于是如果能夠推出PQAP=CFAD，問題就可以解決。

證明：∵AD、CF是ΔABC的兩條高

∴∠ADB=∠CFB=90°

又∵∠ABD=∠CBF

∴ΔFBC∽ΔDBA

∴CFAD=CBAB

又∵PQ∥BC

∴PQAP=CBAB

∴CFAD=PQAP

∵AP=AD

∴PQ=CF

例4：如圖5，以RtΔABC的兩條直角邊AB、AC為邊，分別在形外作正方形ABDE、正方形ACGF，CD交AB于M，BG交AC于N，求證：AM=AN

分析：此題要通過三角形中一邊的平行線的性質，找成比例的線段。

證明：∵四邊形ABDE、四邊形ACGF都是正方形

∴AB∥DE， AC∥FG，AB=AE=DE，AC=AF=FG

∴AMAC=DEEC， ANFG=ABBF

∵DE=AB，EC=AE+AC=AB+AF=BF

∴DEEC=ABBF

∴AMAC=ANFG

又∵AC=FG

∴AM=AN

通過上面幾題，我們可以得出，利用比例的性質證明兩條線段相等，要靈活運用平行線分線段成比例定理、三角形一邊的平行線的性質以及三角形相似的性質，找需要的成比例線段，這樣才能順利地解決問題。

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【貴州省教育廳高等學校人文社會科學研究基地項目：數學史融入初中數學教育的實驗研究-以貴陽市烏當二中為例。課題編號：2017jd101】

（作者單位：貴州師范學院數學與大數據學院）