基于小波變換域的數字圖像嵌入和提取方法*

劉 琰，周 理

(1.福建工程學院 信息科學與工程學院，福州 350118；2.湖南城市學院 機械與電氣工程學院，湖南 益陽 413000)

計算機技術、數字技術和互聯網技術的進步使人們的生活發生了翻天覆地的變化.人們可以輕松地通過網絡得到所需的各種視頻、音頻和圖像等資源.這種變化在方便人們的工作和生活的同時，也帶來了版權保護問題.版權保護一方面需要嚴格的法規制度，另一方面需要采用相應的技術措施.水印技術[1-2]作為一種有效的版權保護措施，近年來成為一個研究熱點.水印技術是指通過特定的手段在圖像或音頻文件中嵌入帶有特定標識的信息，需要時可以利用相應的手段將該信息提取出來的技術.目前，數字圖像水印嵌入技術主要在空域和變換域兩個方面進行.在空域中的水印嵌入技術比較容易實現，但是存在魯棒性弱等缺點.在變換域中的水印嵌入技術是指先將數字圖像進行特定變換，在變換結果中嵌入水印的方法.該技術雖然比較復雜，對計算資源要求較多，但是其隱身性和魯棒性均較高，成為目前主流的水印嵌入技術.基于離散余弦變換的水印技術、基于壓縮感知的水印技術、基于奇異值分解的水印技術等[3-7]，這些技術在一定程度上解決了水印技術中的隱身性、魯棒性和安全性等問題，但是都不能全面地覆蓋所有要求.本文在結合各種技術優點的基礎上，提出了一種基于小波變換域[8]的數字圖像水印嵌入和提取方法，將小波變換、Arnold置亂變換和奇異值分解有機結合，實現了具有較高安全性、隱身性和魯棒性的數字圖像水印的嵌入和提取功能.

1 算法模型

1.1 離散小波變換模型

(1)

式中：WTf(j，k)為離散小波變換系數；Ψj，k為離散小波函數.相應的逆變換為

(2)

式中，Q為離散小波基函數的上界.

小波變換用于圖像處理就是利用小波變換將數字圖像分解成不同頻率和不同空間下的子圖像，利用小波變換實現對數字圖像多尺度的時頻分解.利用一次小波變換可以將圖像分成低頻、垂直、水平和對角線四個頻帶.低頻部分(LL)是圖像在水平和垂直兩個方向上經過低通濾波器后剩下的概貌子圖，可以對其進行二次小波分解.垂直部分(LH)是垂直方向上高頻細節，代表數字圖像中垂直方向細節信息在水平方向上的概貌.水平部分(HL)是水平方向上高頻細節，代表數字圖像中水平方向細節信息在垂直方向上的概貌.對角線部分(HH)是數字圖像經過高通濾波器后剩下的概貌子圖.圖像經過一次和兩次小波變換的結果如圖1所示.低頻部分包含了圖像的大部分能量，垂直、水平和對角線部分主要反映圖像的邊緣和紋理信息，數字水印主要嵌入到圖像的低頻部分.

圖1 小波變換示意圖Fig.1 Schematic wavelet transform

利用小波變換對數字圖像水印進行處理需要選擇合適的小波基函數.小波基函數是小波母函數經過伸縮或平移變換得到的.選擇合適的小波基函數對于實現優秀的數字水印具有重要的意義.Haar小波函數具有嚴格正交、計算復雜度低、支撐長度短等特征，運用到數字圖像水印中具有優秀的性能.Haar小波函數為

(3)

該小波函數是一種正交小波，滿足條件

(4)

1.2 Arnold置亂變換模型

Arnold變換又叫貓臉變換.Arnold變換的重要特征是其具有周期性，圖像變換一定次數后可以恢復到變換前圖像的狀態.由于嵌入了水印的數字圖像在傳輸和保存等過程中可能出現損壞或信息丟失等情況，嵌入其中的水印圖像也會發生損壞或信息丟失等情況.利用Arnold變換的周期性特征，通過對水印圖像進行多次Arnold變換，可以將損壞的水印信息平均分配到整個水印圖像中，減少損失信息對人眼視覺感受的影響.因此，數字水印中采用Arnold變換對水印圖像進行預處理，可以提高水印算法的魯棒性.Arnold變換公式為

(5)

式中：(x，y)為變換前像素點的坐標；(x′，y′)為變換后像素點的坐標；N為圖像的大小；mod為取模運算.利用P表示變換前的像素坐標向量，P′表示變換后的像素坐標向量，H表示變換矩陣，則單次Arnold變換可以表示為

P′=(H·P)modN

(6)

n次變換可以表示為

P(n)′=(Hn·P)modN

(7)

1.3 奇異值分解模型

奇異值分解是矩陣論中將矩陣對角化的方法.數字圖像水印技術中應用奇異值分解主要是由于奇異值分解具有以下特點：一是圖像的奇異值矩陣穩定性較高，不會因為對圖像進行處理而劇烈變化；二是奇異值矩陣代表了圖像的內在性質，改變矩陣的奇異值不會使人眼對圖像的視覺感受產生較大變化.

將圖像中的像素點用矩陣中的元素表示，像素點的灰度值為元素的值，則將圖像表示成二維矩陣A，其大小表示為m×n.A的奇異值分解可以表示為

A=USVT

(8)

式中：U和V分別為m×n的正交矩陣；S為對角矩陣，其對角線上的元素滿足

σ1≥σ2≥…≥σr≥σr+1=…=σm=0

(9)

其中，r為矩陣A的秩，σi為A的奇異值.A的奇異值分解是唯一的，每個奇異值是矩陣AAT的特征值平方根，而U的列向量和VT的行向量分別為AAT的特征向量.將U和V表示成向量形式，則奇異值分解可表示為

(10)

式中：ui為U的列向量；vi為V的列向量.

1.4 基于小波變換的水印嵌入和提取算法

小波變換具有與人類視覺系統相似的特征，將小波變換應用于數字水印具有其他方法無法代替的優勢.本文提出了一種結合小波變換和奇異值分解的數字圖像水印算法.該算法通過對待加入水印圖像進行小波變換后再進行奇異值分解，將經過奇異值分解的水印圖像加入到變換后的待加入水印圖像中實現水印的嵌入過程，并通過逆變換實現水印的提取.

1.4.1 水印嵌入模型

對待加入水印的原始圖像B進行兩次離散小波變換，得到變換后的結果D，根據低頻、垂直、水平和對角線四個頻帶將D分成七個部分，分別為LL2、HL2、LH2、HH2、HL1、LH1和HH1.

對水印圖像S進行Arnold置亂變換得到置亂圖像S1，變換的次數根據實際需要設定.將S1進行奇異值分解，得到奇異值矩陣SW，即

SVD(S1)=[UW，SW，VW]

(11)

選擇原始圖像B二次小波變換后的低頻部分LL2作為嵌入水印的對象.對LL2進行奇異值分解，得到奇異值矩陣SLL2，即

SVD(LL2)=[ULL2，SLL2，VLL2]

(12)

(13)

利用逆奇異值變換得到添加水印之后的低頻部分LL2*，并對其進行兩次小波逆變換得到嵌入水印的圖像B*，表達式為

(14)

1.4.2 水印提取模型

(15)

(16)

2 實驗及分析

2.1 水印效果及可見性分析

選擇大小為256×256的Lena灰度圖像作為需要嵌入水印的原始圖像，水印圖像為64×64的灰度二值圖像，算法中Arnold變換的次數為10次，幅度調整比例α的值為50，選擇Haar小波基函數.嵌入水印后的圖像及水印提取結果如圖2所示.

圖2 實驗結果Fig.2 Experimental results

由實驗結果可知，嵌入了水印之后的圖像和原始圖像在視覺上基本沒有任何差別，水印的嵌入沒有對人眼的視覺感受產生影響.經過提取得到的水印圖像與原始水印圖像基本沒有差別.因此，該算法能夠很好地實現水印的嵌入和提取功能，并且提取出的水印圖像準確度滿足使用要求.實驗中設置的Arnold變換次數為10次，變換的次數越多，對水印的置亂效果越好，某種程度上對水印的保護效果就越好，但是會明顯地增加運算量，實際應用時需要根據實際情況靈活選擇變換次數.實驗中設置的幅度調整比例α的值為50，該值的大小會影響水印圖像在原始圖像中的可見度，需要根據使用要求決定.

為了定量表征水印的可見性，采用峰值功率信噪比(PSNR)作為該指標的度量.峰值功率信噪比定義為原始圖像和嵌入水印后圖像在各個像素點的灰度差值的函數，該值越大說明水印的效果越好，其表達式為

(17)

式中：X(i，j)和X′(i，j)分別為原始圖像和嵌入水印后圖像在位置(i，j)處像素的灰度值；I、J分別為圖像的長度和寬度.在不同的α值時PSNR的結果如表1所示.

由表1可知，隨著α值增大，PSNR減小，表示水印在結果圖像中越來越可見.經驗數據表明，PSNR大于30 dB時基本不會影響人眼對圖像的觀察.當α增大到100時，PSNR小于30 dB，從實驗結果可以看出，結果圖像較原始圖像有細微變化，因此，需要根據實際情況靈活調整α值.

表1 PSNR數值表Tab.1 PSNR values

2.2 水印魯棒性分析

水印的魯棒性是指嵌入水印的圖像受到各種噪聲污染、壓縮或裁剪等操作后，還能可靠提取出原始水印圖像的能力.實驗中采用歸一化相關系數(NC)作為衡量水印魯棒性的指標，其表達式為

(18)

式中：K和L分別為水印圖像的長度和寬度；W′(i，j)和W(i，j)分別為提取的水印圖像和原始水印圖像在位置(i，j)處像素的灰度值.NC值越接近1，表示水印的質量越好，通常有效的水印算法中NC值必須大于0.5.

分別對在不同強度的椒鹽噪聲、高斯噪聲和JPEG壓縮、高斯平滑、裁剪操作等攻擊方式下水印的NC值進行實驗，每項NC值采用20次實驗后取平均結果作為最終結果.實驗數據如表2所示.

表2 魯棒性實驗結果Tab.2 Experimental results of robustness

由實驗結果可知，在各種強度的椒鹽噪聲和高斯噪聲的污染下，水印圖像的NC系數均大于0.77，遠高于0.5的標準，說明該算法具有較好的抗噪聲干擾能力.在JPEG壓縮、高斯平滑和裁剪操作等攻擊方式下，水印圖像的NC系數均大于0.76，同樣遠高于0.5的標準，說明該算法在各種常見攻擊下均具有良好的效果.圖3為表2中最后1列所示參數攻擊下提取的水印圖像.由圖3可知，各種噪聲污染和處理攻擊下人眼均能較清晰地辨別出水印圖像的內容，因此，該算法具有優秀的魯棒性.

圖3 各種操作后的水印提取結果Fig.3 Results of watermark extraction after various operations

3 結 論

本文提出了一種基于小波變換域的數字圖像水印嵌入和提取方法.該方法將離散小波變換、奇異值分解和Arnold置亂變換有機地結合在一起，利用Arnold置亂變換對水印圖像進行變換，增加水印算法的安全性，通過二次離散小波變換得到原始圖像的低頻部分，然后對原始圖像的低頻部分和置亂后的水印圖像進行奇異值分解，分解結果通過加性準則實現水印的嵌入.實驗結果表明，該算法能夠有效地實現水印的嵌入和提取操作，嵌入水印后不會影響人眼對圖像的觀察.在椒鹽噪聲、高斯噪聲、JPEG壓縮、高斯平滑和裁剪操作等各種污染和攻擊措施下，算法的NC值均大于0.7，人眼能夠輕松地辨別出提取的水印圖像，表明該算法具有較強的魯棒性.