追根求源，實現新舊知識的共建、共生、共長

柳偉

[摘要]學習是在已有知識背景之下發生的，新的認知也是建立在已有的理解和經驗基礎之上的。教師的教學就是讓學生經歷、探索知識的形成過程，在觀察、分析、概括、驗證等過程中得到“必然”的知識結論，并納入已有知識體系之中，實現從“有”到“更有”的過程。在“分數除整數”的教學中充分結合數學知識生長之序和學生經驗生長之勢，打通新舊知識的聯系，在遵循科學性的前提之下，以螺旋上升的方式呈現新知，實現新舊知識的共建、共生、共長。

[關鍵詞]新知;舊知;聯系;共建;共生;共長

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2019） 35-0065-02

數學學習，就是學生經歷知識產生與形成，重走前人的數學探索之路，不斷地積累數學活動經驗，形成探究和創新能力，最終實現數學教育最終目的的過程。數學教學必須以知識的發生發展和認知形成的內在聯系為線索，使學生充分展現經歷其中的思維活動，真正參與到發現的過程中來。

“分數除以整數”是蘇教版教材六年級上冊的教學內容，在此之前，學生已經學習了整數除法、小數除法，對于除法的意義、計算法則有了深刻的理解與熟練的掌握。分數除以整數的計算方法與之前的除法計算法則完全不同，通過怎樣的教學設計才能讓學生理解并感悟“分數除整數”的意義、算理及計算方法？如何溝通分數除法與分數乘法的聯系，讓學生在掌握計算方法的同時更注重算理的理解？下面以“分數除以整數”的教學為例進行探討。

【教學環節一】追根求源，從意義上建立聯系，實現新舊知識的意義統一

師：有8個圓片，平均分給2個小朋友，每個小朋友分到幾個？

生1：這是我們二年級學習的平均分，8÷2=4（個），就是把8個圓片平均分成2份，每個小朋友得到1份。

師：8個圓片，每個小朋友分得這些圓片的1/2，每個小朋友分到幾個？這里的1/2表示什么？你能列出式子嗎？

生2：這里的1/2表示把單位“1”的8個圓片平均分成二份，每位小朋友分得其中的一份，就是二分之一。要求每個小朋友分到幾個，就是求8個圓片的二分之一是多少，用乘法計算。

師：第1題是我們二年級所學的平均分，第2題是我們前幾天學習的求一個數的幾分之凡是多少。仔細觀察，這兩個題目有什么相同點和不同點？

生3：一個是平均分給2個小朋友，一個是每個小朋友分得這些圓片的二分之一。

生4：這兩題所列的式子不一樣，一個是8÷2.一個是8×1/2，但計算的結果一樣，每個小朋友都分得4個圓片。

師：兩道式子的計算結果一樣，如果用一個數學符號把這兩道式子連接起來，你準備用什么符號？

生5：等于號。

師（板書：8÷2=4×1/2）：除了列式計算，還能畫圖的方法算出它們的結果。（多媒體演示過程）

師：兩題的主題圖完全一樣，這也就說明了，平均分給2個小朋友相當于每個小朋友分得這些圓片的二分之一。如果平均分給3個小朋友，相當于什么？如果平均分給4個、5個小朋友呢？

生6：平均分給3個小朋友相當于每個小朋友分得這些圓片的三分之一…一

【評析：分數除以整數的計算法則是把除法轉變為乘法后再進行計算。因此，如何幫助學生在頭腦中建立乘法與除法之間的聯系，弄清算理，實現算法上的自然過渡尤為重要。通過列式和計算，得到8÷2=8×1/2，學生認識到除法與乘法之間的表面聯系，但他們尚不明白除法與乘法之間的意義聯系。通過多媒體演示“分”的過程，學生發現平均分成2份相當于每位小朋友分得這些圓片的1/2，清晰地建立了平均分與分數之間的聯系（分數的意義中最重根本的就是平均分），即把圓片平均分成若干份，相當于每個小朋友分得這些圓片的若干分之一。“以形助數，以數解形”，學生初步感到乘、除法之間的關系，就能為下一環節分數除以整數計算法則的探究提供了研究基礎和知識儲備。】

【教學環節二】把握本質，從算理上建立聯系，實現新舊知識的算理統一

師：把4升果汁平均分給2個小朋友喝，每個小朋友喝幾升？如何列式？

生1：4÷2=2（升）。

師：把4/5升果汁平均分給2個小朋友喝，每個小朋友喝幾升？如何列式？

生2：4/5÷2。

師：會計算嗎？畫圖是非常好的解決問題方式。你能通過畫圖得出每個小朋友喝幾升嗎？（教師引導學生畫圖表示4/5升，把1升平均分成5份，取其中的4份，即是4/5升）

生3：4/5升是4個1/5升，把4個1/5升平均分成2份，每份是2個1/5即1/5所以5/5÷2=4÷2/5=2/5（升）。

師：2是怎么來得？

生4：4÷2。

生5：我還可以把4/5升化成小數，即0.8升，0.8÷2=0.4（升），0.4升化成分數是2/5升。

師：把6/5升果汁平均分給2個小朋友喝，每個小朋友喝幾升？剛才大家用不同的方法求出了結果，對分數除整數的計算方法也有了初步的認識，誰能快速算出結果？

生6：6個1/5升平均分成2份，每份是3個1/5升，即3/5升。

師：怎么列式呢？

生7：6/5÷2=6÷2/5=3/5（升）。

師：說一說分數除以整數是如何計算的。

生8：用分數的分子除以整數，所得的商做分子，分母不變。

出示練習（讓學生說計算的過程）：6/7÷2;6/7÷3;6/7÷6。

師：把5/9升果汁平均分給2個小朋友喝，每個小朋友喝幾升？怎么列式？如何計算？

生9：5/9÷2。（學生運用之前得出的結論解題時遇到困難，面露難色）

師：有什么問題？

生9：吾的分數是5，5除以2沒法算。

師：看來剛才得到的結論還有一定的局限性。那剛才得到的結論可以在什么樣的情況下使用呢？

生10：分數的分子除整數能整盡時。

師：怎么辦？還得探究……

（之前得出的結論有局限性，猶如一盆涼水從天而降，但教師及時給予學生肯定，激發了學生的探究欲望）

師：怎么辦？可以畫圖嗎？能化成小數嗎？還有其他的方法嗎？

師：把5/9升果汁平均分給兩個小朋友喝，其實相當于——

生11：相當于每個小朋友喝了這些果汁的1/2，也就是5/9升的1/2，5/9升果汁平均分給2個小朋友喝，相當于每個小朋友喝5/9升果汁的1/2，即5/9÷2=5/9×1/2。

（回顧課始的分圓片問題，引導學生總結分數除以整數的計算法則）

【評析：此環節的切人點是除法中的平均分與分數意義中的平均分的完全統一，即把一個量平均分成若干份，求每一份是多少相當于求這個量的若干份之一是多少。教學從畫圖人手，學生在觀察、分析、總結、概括等過程中初步得到分數除以整數的算法（特例），驗證時發現計算法則存在缺陷，再次進行探究。】

【教后反思】

分數除以整數的計算在小學階段比較簡單，計算難度與復雜度遠遠小于兩位數以上的整數除法與小數除法。如何讓學生理解分數除以整數計算的算理，讓學生經歷探索計算法則的過程，從而積累數學活動經驗，是教師必須思考的。

教學過程中，從平均分中的除法到求一個數的幾分之一是多少（乘法）的統一，教師一步一步引導學生操作、觀察，再進行比較、分析、綜合，在充分感知的基礎上加以概括，從而進行簡單的推理和判斷，經歷從具體到抽象、從特殊到一般的歸納過程，最后實現了算理與算法的相輔相成，提升了學生的運算能力。

基于教學內容的特點，挖掘分數除以整數中數與形的關系，利用“形”的手段把數量關系中的幾何特征形象地表示出來，并通過對圖形的處理，實現抽象運算與直觀表象的聯系和轉化，進而使問題得到解決。通過圖形，把“抽象的運算”變成“可以操作的流程”，分數除以整數的計算法則以動態、直觀的形式呈現在學生面前，直達計算法則的本質和核心。當學生用初步得出的結論不能解決所有的數學問題時，教師又適時引導學生回到抽象的數量關系上——除法中平均分與求一個數的幾分之一的完美統一上，從抽象數量關系中最終獲得分數除以整數的計算法則。最后借助圖形引導學生深層次理解分數除以整數的計算法則，使學生在算理與算法程序和步驟之間建立起合乎邏輯的關聯。

綜上，在教學中充分結合數學知識生長之序和學生經驗生長之勢，打通新舊知識的聯系，并在遵循科學性的前提之下，以螺旋上升的方式呈現，新知就能幫助學生實現新舊知識的共建、共生、共長。

（責編金鈴）