基于內容分析法探析三位數乘兩位數筆算錯例

陳佳璇

[摘要]學生的錯例折射的是教與學的問題。基于內容分析法的視角研究錯例，捕捉學生的認知困難，有助于調整教師的教學方法。依托典型錯例類型及其主要成因，提出教學的五個改進策略，使教學活動更具有效性。

[關鍵詞]筆算乘法;錯例研究;內容分析法

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2019）35-0055-02

聯合國教科文組織第十九次國民教育國際會議資料中指出：“應當研究學生所犯的錯誤，并把錯誤看成是認識過程和認識學生數學思維規律的手段。”在如此高端的教育國際會議中提到了學生的錯誤，錯例研究的價值可見一斑。學生的每一個錯誤都是一次生動的提醒，錯例折射的是教與學的問題。教師只有研究錯例，了解學生的學習難點，才能及時調整教學手段和策略，彌補學生的認知缺陷。因此，典型錯例的研究及對策探討顯得格外重要。

一、研究設計

1.研究對象

主要研究對象是廣州市海珠區寶玉直實驗小學四年級學生關于三位數乘兩位數筆算的典型錯例。典型錯例的“收集卡”（共407份）發放于學生上完三位數乘兩位數筆算的新授課和練習課之后。

2.研究方法

采用內容分析法，對407份三位數乘兩位數筆算的典型錯例的信息內容加以歸類、整理、統計，并進行深層次分析，以期歸納出學生關于三位數乘兩位數筆算的典型錯例類型與成因，并據此提出相應的對策和建議。

3.分析維度

（1）分析繁多的筆算錯例存在哪些共性，提煉出筆算錯誤的典型類型;（2）對于不同的錯誤類型，探究筆算錯誤的主要原因;（3）圍繞筆算錯誤的成因尋找可行性較強的對策和建議。

二、研究結果與討論

1.研究內容分析

三位數乘兩位數筆算的基本步驟如下：第一步，先用第二個因數的個位乘第一個因數，積的末尾對齊個位;第二步，用第二個因數的十位乘第一個因數，積的末尾對齊十位;第三步，把兩次所得的積相加。另外，因數末尾有0的豎式有簡便寫法。

通過對407份三位數乘兩位數筆算的典型錯例按出錯步驟進行整理分類后發現，筆算第一步出錯的占比例較小，為20.88%，第二、三步出錯占的比例較大，共計79.12%。

學生有著不同的知識背景和思考角度，他們的差異是客觀存在的。對同一個計算問題，學生由于認知水平和認知風格的不同，常常會得出不同的計算方法以及各異的計算錯誤。然而個性中存在著共性，錯誤主要集中存在于以下幾個類型。

2.錯誤原因分析

從計算的要求來說，三位數乘兩位數在小學階段是最高難度的乘法運算了，學生出現錯誤也是正常。

分析樣本時按出錯步驟進行分類：筆算第一步出錯較少，第二、三步出錯較多。主要原因是大腦的記憶存儲空間有限，剛開始計算時狀態與思維較為清晰，而隨著筆算的深入進行，大腦存儲空間受限，對存儲知識的調動卡殼或不流暢。因此在解答結構步驟較簡單的題時，正確率比較高，而解答結構步驟較復雜的題時容易出錯，且更容易出錯在解答程序的后半段。這正說明了為什么低年級學生計算的正確率高，而中高年級學生計算的正確率不如低年級的原因之一。

仔細分析三位數乘兩位數筆算典型錯例的具體類型，造成上述錯誤的原因主要有以下三個：

（1）“乘法口訣”與“忽略進位”的錯誤原因屬于舊知記憶混亂。在多步計算時，中間得數或者進位數字需要進行短時記憶，而小學生由于急躁、搶時間、怕麻煩，使得儲存的信息部分消失或暫時中斷，造成“記憶性錯漏”。

（2）“將兩次乘積相乘”和“積的對位”錯誤的原因屬于知識負遷移。在筆算第一步和第二步時，學生熟練地將第二個因數的個位和十位上的數分別與第一個因數相乘，因此也會形成思維定式，將兩次所得的積相乘。同樣的，在之前筆算加減法的學習中，學生習慣于在書寫豎式時“相同數位要對齊”，因此容易將第二次乘積的末尾對齊個位，以迎合感官上的“對齊”，導致積的對位錯誤。這種錯誤實質上并非概念不清，而是學生思維定式過強造成的知識負遷移。

（3）沒寫“0”占位和積的末尾“0”的個數出錯的原因屬于信息干擾。在小學生的自然數觀念當中，“0”代表什么都沒有。在這樣的強信息干擾下，學生容易產生思維錯覺：什么都沒有，即什么也不用寫，或可忽略“0”的個數。這正是算理不清晰的表現。對320x50的算理分析如下，320表示32個十，50表示5個十，因此所得的積表示160個百，所以積的末尾要添2個“0”。算理若清，則能減少強信息的干擾。

三、建議與思考

筆者圍繞筆算乘法的典型錯例及成因，結合長期的教學經驗探析可行性對策。

1.鋪墊溫舊知

（1）乘法口訣的復習：在每堂數學課的預備鈴敲響之后，由班干部組織背誦乘法口訣，重點復習6、7、8、9的口訣，并形式多樣化地開展：順著背、倒著背、跳著背，以及開火車、小老師出題搶答等，訓練學生的反應能力及熟練程度。在布置作業時，可要求學生在作業版面的頁眉、頁腳處默寫口訣，每天默寫一句。

（2）進位加的復習。“9加幾”的和，個位上的數會比幾少1，如9+5=14，個位上的4比5少1，因為5可以分成1和4，1+9湊整成10，10+4=14。以此類推，學生就能熟練掌握8、7、6加幾的進位加的快速計算方法。

2.方法巧遷移

在學習本單元之前，學生已掌握了三位數乘一位數和兩位數乘兩位數的筆算。因此，可以利用舊知遷移，讓學生自主探究三位數乘兩位數的筆算，從而歸納三位數乘兩位數的一般方法。充分發揮學生原有經驗的作用，學生自然對算理和算法的理解就不會感到困難。

3.新知妙傳授

向課堂40分鐘要質量。例如，在“三位數乘兩位數”的筆算乘法的第一課時中，結合線段圖（如圖1）引導學生理解：先用2小時乘每小時走145千米，計算出2小時的路程;再用10小時乘每小時走145千米，計算出10小時的路程;最后再把兩部分相加求得12小時走的路程。進而引導學生思考和理解乘法豎式的計算及書寫過程，并用朗朗上口的說理活動將乘法思路清晰化、外顯化：145x12，先算個位2x145=290，積的末尾對齊個位;再算十位lx145=145，積的末尾對齊十位;最后把兩次所得的積相加，得145x12=1740。

4.計算常鞏固

計算的鞏固練習要抓住學生的典型錯誤，在糾錯中提高學生的計算能力。例如，在尊重學生個性差異的基礎上，創設學生合作交流的平臺，促其實現自我優化;開展形式多樣的計算鞏固練習，如每天早練或微信簽到說理、每周計算小測、每單元數學小達人競賽、數學小講師活動等。

在信息化時代背景下，在班級微信群開展“微信簽到”交互式的計算說理活動，打造“互聯網+課堂”的新模式。該活動主要記錄學生作業中的筆算說理過程。由于語音能長時間保存，方便學生反復聆聽、學習同學的優秀案例，因此能促進學生之間積極、主動、個性化地學習，既規范了學生數學口頭作業，還為家長提供了評價數學口頭作業的標準，家長有“理”可依，家校合作變得更為高效。同時，教師也能通過導出功能方便快捷地檢測學生作業的完成度。

5.知識懂應用

數學學習基于生活，又高于生活。創設生活情境導人問題，讓學生學習了筆算方法后解決實際生活問題，有助于調動學生學習的積極性和主動性。

如圖2，給出數學信息后，由學生自主提出問題，訓練學生提出問題和解決問題的能力。在求解每一種蔬菜賣出的總價時，列出的三位數乘兩位數的算式覆蓋面較廣，普通類型、中間有0的類型和因數末尾有0的類型均能體現。

“錯誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的。”英國心理學家貝恩布里如是說。基于內容分析法的錯例分析能準確捕捉學生的認知困難，有助于教師反思教學行為，調整教學方法，從而使教學活動更具針對性和有效性。

（責編羅艷）