慧思雅行：豐盈學生的數學理解

羅銳

[摘要]“慧雅”數學教學主張引導學生通過復習舊知獲取新知，并通過動手操作，促進學生“做學合一”;通過融會貫通，引領學生實現深度學習;通過移易遷變，拓展學生的思維。

[關鍵詞]慧思雅行;立命題;驗猜想;明本質;拓思維

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2019）35-0025-03

“慧雅”數學教學倡導數學學習過程的智慧、規范、雅致，這就要求我們在教學中首先要認識數學所具有的抽象性、邏輯性和應用性三大特點，同時要清楚地知道數學學習還需要理性的思考。這就注定數學學習過程是感知認識、豐富理解、提升思維的過程。數學知識的呈現與表達、數學思考方法與過程、數學理解與感悟是根據學生外在動作與內在心理活動相生相成的，“慧雅”數學學習的內容可以是直觀的、形象的、可視的，也可以是生動的、能操作的、可體驗的。數學課堂教學不能局限于記住一個數學概念、會套用一個數學法則、會解答一類數學題目，而應讓學生理解一個數學知識、鍛煉一種數學技能、學會一種數學方法、發展一種數學思維，從而豐富學生的數學素養。這是筆者最近實踐探索“慧雅”數學教學的一些思考，下面就以“數與圖”的教學為例，談談在數學課堂上引導學生慧思雅行，豐盈數學理解的探索過程。

一、溫故知新立命題——慧思源于經驗，雅行萌發求新

慧思是指數學學習過程中智慧、靈動的數學方法與數學思維，它是數學教學的思維價值追求;雅行是指數學學習過程中規范、合適的方法與順應本真的應然，它是數學知識自然生長和學生數學學習科學方法的行為標準。“溫故而知新，可以為師矣。”溫故而知新是指不斷溫習學過的知識，并且從中獲得新的領悟。數學的每一個知識都是在原有知識的基礎上生長起來的，數學教材內容也是在一定的邏輯結構內分段編排、逐步認知的，所以學生的數學學習也需溫故才能知新。復習學過的數學知識，換一個不同的視角去觀察研究它們的特點，也許就會有不同的發現。

“數與圖”這節課是筆者根據蘇教版三年級《數學實驗手冊》中“數與圖”的實驗、蘇教版教材五年級中的“因數與倍數”以及相關課外資料自主開發的數學實驗課，內容包括三角形數和正方形數。

[片段一l

1.課件出示自然數列，指出：“我們已經知道1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…這些數是連續自然數。”從中抽出偶數，引導觀察：“自然數中，像2，4，6，8，10，…這些都是2的倍數，它們是什么數？”再抽出奇數：“自然數中，像1，3，5，7，9，…這些不是2的倍數的數，它們是什么數？”

2.仔細觀察，你認為下面這組數有什么特點？請找出空缺的兩個數。你覺得它們可以叫作什么數？

1

4 9 16 25 （ ）49 64 81（ ）

案例中，先用自然數列、偶數列和奇數列喚醒學生內在知識，讓這些已有的知識成為學習基礎，然后通過回顧自然數的排列規律與特點，喚醒學生從不同的視角觀察數的特征的意識，讓學生感悟從不同的視角觀察同樣的數學現象會有不一樣的發現，將學生的思維引入新知識研究的最近發展區。在尋找1，4，9，16，…這一串數空缺的兩個數的過程中，學生換一種視角觀察分析一類數的特征，無痕地進入了畢達哥拉斯關于三角形和正方形點子圖的數學實驗，順利進入學習狀態。

二、做學合一驗猜想——慧思立于實做，雅行促進創新

做學合一，是我國著名教育家陶行知的教學理論，它把“教”“學”“做”看成一體，“做”是核心，主張在做上教、做上學。數學不僅僅需要純粹的思考，還需要通過動手操作來驗證猜想是否正確。在不了解圖形特性的情況下，通過動手操作研究它的本質，即“學中做”;在做實驗的過程中直觀地感受圖形的特點，從而研究它的特性，即“做中學”。將“做”與“學”有效結合，可激發學生的創新意識。

[片段二l

師：這里有一些點，我們一起來還原畢達哥拉斯當年的數學實驗。從第一個點開始觀察思考：第一個圖擺一個點，第二個圖至少需要幾個點才可以擺成三角形？第三個圖要怎么擺？第四個圖呢？這四個圖的點子數依次是1、3、6、10，畢達哥拉斯把它們叫作三角形數。

（課件出示每個點子圖的排列過程，學生同時用棋子在課桌上依次擺出來）

師：請大家仔細觀察自己擺出的點子圖，說說每個圖所代表的三角形數。你能看出它們的奧妙嗎？請你猜猜第5個三角形數可能是多少？第6個三角形數可能是多少？

（教師把學生猜想的數寫在括號里，并打上大大的問號）

1.獨立實驗，同桌研討

（1）用棋子再擺一個三角形。（2）把擺出的圖形畫到實驗記錄單里，寫出三角形數。（3）根據擺的過程，觀察這些三角形數，找出計算每個三角形數的算式。（4）同桌兩人共同對比實驗中記錄的幾組數據與算式，說說你們有什么發現？

第n個三角形數就是（ ）+（ ）+（ ）+…+（ ）。

發現：第n個三角形數是從1開始連續n個（ ）數的和。

2.交流展示，歸納規律

小組代表展示，學生每說出一個三角形數，教師就板書并追問為什么這樣列算式。“用你們發現的方法驗證一下，15是第5個三角形數嗎？列式計算第6個三角形數。”教師引導學生發現：第2個三角形數的圖形有2層，最多一層的點數是2，第3個三角形數的圖形有3層，最多一層的點數是3。學生逐漸探索出三角形數的規律——第幾個三角形數就是從1加到幾，即三角形數就是連續自然數的和。

三、融會貫通明本質——慧思利于理解，雅行走進深度

融會貫通，出自宋·朱熹《朱子全書·學三》：“舉一而三反，聞一而知十，乃學者用功之深，窮理之熟，然后能融會貫通，以至於此。”融會貫通，指將各方面的知識或道理融合貫穿起來，從而得到系統透徹的理解。數學題海是無窮大的，所以我們必須學會舉一反三，通過理解一個典型的題型而掌握相似的題型，達到透徹的理解，而不是浮于表面的一知半解。

三角形數是本節課研究的最基本的圖形數，由最初的用數字或算式表示第幾個三角形數，最后歸納總結用字母代替數字，從根本上就掌握了三角形數的特征，達到了對三角形數的最本質的理解。

[片段三]

師：大家的猜想是正確的，說明實驗中發現的這個規律也是正確的。請你再用一句話說說這個規律。

師：根據你們的發現，說一說下面這三幅圖分別表示第幾個三角形數，并說出算式。師：三角形數在生活中也有廣泛的應用，比如在工地用于計算一堆木料（如右圖）的根數。該怎樣列式？就是求第幾個三角形數？

師：要求這堆木料有多少根，還需要知道哪個條件？如果最后一層是20根，怎么列式？如果最后一層是100根，又怎么列式？這是高斯故事中的一道名題。高斯的巧算我們可以理解為把這個圖看作上底是1，下底是100，高是100的梯形，用梯形面積公式來計算。如果底層是n根，怎么列式？用這個簡便方法計算第6個三角形數。

為了讓學生融會貫通，教師安排了解釋應用性思維活動：①讓學生看點子圖說說對應的是第幾個三角形數以及相應的算式，并在材料提供時有意變換圖形的放置，體現變式，把數量最多的一層點子用不同顏色標注，讓學生抓住知識的關鍵點;②算木材的根數，三個層次的引導讓學生在三角形數、連續自然數的和、連續自然數和的計算方法、三角形、梯形等知識之間有效地架起一座立體的高架橋，把抽象的數列求和的理解直觀化，讓有難度的知識在遷移中實現順應與建構。

四、移易遷變拓思維——慧思見于思維，雅行發展新知

移易遷變，出自明·張居正《答中溪李尊師論禪》：“意生分段之身，剎那移易遷變，人烏得而知之。”移易遷變的意思就是遷移變化。新知的獲得是在舊知的基礎上，由舊知不斷遷移變化而來的。因此，讓學生學會遷移舊知，發展新知才是根本。

在“數與圖”中，難道只有三角形數嗎？答案是否定的。那么還有哪些數呢？它又具有什么樣的特點呢？這才是我們這節課的根本所在——讓學生在情境中自己提出問題、思考問題并解決問題。

[片段四]

2.自主實驗，引導：顯然，是存在正方形數的。那么，正方形數又有什么特點呢？請大家前后四人一組，用擺棋子的方法自主實驗。

實驗提示：

（1）1人用棋子從小到大依次擺出不同的正方形。

（2）其他3人觀察并記錄，每人都填寫一份實驗記錄單，要列出算式。

（3）根據擺的過程，觀察你們發現的正方形數和每道算式，想一想，第n個正方形數可以怎樣列式計算？

（4）對比實驗記錄的幾組數據，你有什么發現？

根據表中的算式，我們發現：第n個正方形數的算式是（

}。

3.交流研討。先讓學生在小組內交流，形成小組研究成果，再請小組派代表上臺展示交流，教師在黑板上復原他們擺的圖形，讓其他學生評價復原的正確性，然后師生共同研討正方形數的特點。

（1）從1開始的正方形數是平方數。

探索發現：1=1²4=2²

9=3²

16=4²

25=5²

這樣教學的目的是讓學生觀察發現：2x2中的2就是第二個正方形邊上的點子數，正方形的邊上有幾個點，對應的就是第幾個正方形數，等于邊上點子數的平方。

（2）從1開始的正方形數是奇數的和。

探索發現：1+3=2x2=4

1+3+5 =3x3=9

1+3+5+7=4x4=16 1+3+5+7+9=5x5=25

課件依次呈現拐彎數，引導學生寫出連續奇數相加的形式，要讓學生發現：最后一個奇數加1的和除以2得幾就是求第幾個正方形數，也等于這個數的平方。根據這個規律快速計算：1+3+5+7+9+…+33=（）×（）。

（3）平方數是兩個相鄰三角形數的和。

課件呈現把正方形點子圖分解成兩個不同三角形數的點子圖，可以發現：2x2=1+2+1. 3x3=1+2+3+2+1. 4x4=1+2+3+4+3+2+1.5x5=1+2+3+4+5+4+3+2+1.

這樣教學的目的是讓學生體會兩個相鄰的三角形數相加就是一個正方形數。這樣的算式有什么特點？怎樣快速算出它們的結果？讓學生在觀察正方形數與三角形數的關系時結合算式體會對稱數相加的特點，能快速計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

“數與圖”這節課在于讓學生獲得對三角形數與正方形數的本質認識，懂得如何計算它們。為了幫助學生獲得這樣的數學認知，本節課充分利用數學實驗這一學習手段，讓學生借助教師提供的實驗器材和實驗記錄單，把數學活動聚焦在擺出三角形和正方形點子圖、觀察這些點子數量與排列的規律、用點子畫出所擺的物體、體驗擺圖形的過程、寫出算式，經歷從實物到圖、到數、到式，再到規律的數學化過程，感知逐步豐富，認識逐步清晰，思維逐步深入，理解逐步透徹。

（責編 吳美玲）