張 凱， 鄭世強(qiáng)

(1.北京航空航天大學(xué) 慣性技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 新型慣性儀表與導(dǎo)航系統(tǒng)技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，北京 100191；2.北京市高速磁懸浮電機(jī)技術(shù)及應(yīng)用工程技術(shù)研究中心，北京 100191)

0 引 言

與傳統(tǒng)的機(jī)械軸承相比，磁懸浮軸承具有非接觸、無摩擦、電磁力可控、精度高、噪聲低、壽命長等優(yōu)點(diǎn)[1]，廣泛地應(yīng)用在了磁懸浮鼓風(fēng)機(jī)等高速旋轉(zhuǎn)設(shè)備中，必將對我國工業(yè)化進(jìn)程產(chǎn)生巨大的推進(jìn)作用。

倍頻諧波干擾對磁軸承控制系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行和控制精度都具有很大的影響。目前，對倍頻諧波干擾抑制的研究按照諧波干擾的次數(shù)可劃分為單諧波干擾抑制和多諧波干擾抑制。對于單諧波干擾抑制，主要有自適應(yīng)陷波器的方法[2]，但具有動態(tài)響應(yīng)慢、計算量相對較大的缺點(diǎn)。而對于多諧波干擾抑制主要有重復(fù)控制器[3]、自適應(yīng)多頻率追蹤法[4]等。重復(fù)控制器有構(gòu)造簡單的優(yōu)點(diǎn)，但動態(tài)響應(yīng)比較慢。自適應(yīng)多頻率追蹤法的計算量會隨著抑制的倍頻數(shù)目的增加而顯著增加。

而如果按照自由度劃分的話，目前大部分研究方法主要針對徑向平動兩自由度的諧波進(jìn)行抑制研究，如文獻(xiàn)[5]利用重復(fù)控制器進(jìn)行平動兩自由度諧波電流的抑制。而同時對徑向平動和轉(zhuǎn)動4自由度的諧波干擾的研究相對較少，如文獻(xiàn)[6]用自適應(yīng)陷波器和重復(fù)控制器對在平動兩自由度對諧波力進(jìn)行抑制，在轉(zhuǎn)動兩自由度上對諧波力矩進(jìn)行抑制。

本文中引入基于同步坐標(biāo)變換的方法對平動和轉(zhuǎn)動自由度的諧波同時進(jìn)行抑制。用變量重構(gòu)的方法對系統(tǒng)進(jìn)行建模，分析了系統(tǒng)的收斂性和穩(wěn)定性，并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。在30 kW磁懸浮高速鼓風(fēng)機(jī)仿真證明了該諧波抑制方法的有效性，與傳統(tǒng)自適應(yīng)陷波器相比具有更好的動態(tài)性能，計算量更小。

1 基于同步坐標(biāo)變換的原理

基于同步坐標(biāo)變換方法的基本思想為：將靜止坐標(biāo)系中的倍頻分量通過同步坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換成同步坐標(biāo)系下的直流分量。然后用低通濾波器識別該分量，同時過濾掉其他倍頻分量，利用坐標(biāo)逆變換將該倍頻分量重新轉(zhuǎn)換成靜止坐標(biāo)系下的倍頻分量。然后用負(fù)反饋將該倍頻分量抵消，原理如圖1所示[7]。

圖1 基于同步坐標(biāo)變換方法的原理

1.1 傳遞函數(shù)推導(dǎo)

由于x通道和y通道的相位相差90°，故該系統(tǒng)可以用變量重構(gòu)法來構(gòu)建并求傳遞函數(shù)

xdc+jydc=(xo+jyo)e-j(kωt+θk)

(1)

結(jié)合拉普拉斯變換的性質(zhì)可得傳遞函數(shù)

(2)

可以得到陷波器的閉環(huán)傳遞函數(shù)

(3)

本文主要研究對3次諧波的抑制，即k=3。

1.2 收斂性證明

因?yàn)槌跏紩r刻輸入的倍頻信號經(jīng)過坐標(biāo)正變換后，倍頻信號變?yōu)橹绷餍盘枴Ｋ钥梢詫⑾到y(tǒng)簡化為圖2所示的結(jié)構(gòu)[7]。

圖2 陷波器等效結(jié)構(gòu)

(4)

其中,輸入的等效直流信號的傳遞函數(shù)為(ρ+jρ)/s，ρ為輸入信號的幅值

(5)

第二項(xiàng)的幅值可以表示成

(6)

1+ηcosθ3>0

(7)

2 系統(tǒng)建模

2.1 徑向四自由度的系統(tǒng)建模

根據(jù)文獻(xiàn)[6，8],可以分別建立陷波器系統(tǒng)在平動兩自由度和轉(zhuǎn)動兩自由度的子模型如圖3、圖4所示。

圖3 平動子系統(tǒng)的抑制倍頻擾動的結(jié)構(gòu)

圖4 轉(zhuǎn)動子系統(tǒng)的抑制倍頻擾動的結(jié)構(gòu)

(8)

2.2 穩(wěn)定性分析

平動子系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(9)

轉(zhuǎn)動子系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(10)

平動子系統(tǒng)和轉(zhuǎn)動子系統(tǒng)各有5個開環(huán)極點(diǎn)，其中有1個極點(diǎn)在原點(diǎn)上，有2個在左復(fù)半平面，1個在右負(fù)半平面,余下1個極點(diǎn)為

如果滿足系統(tǒng)收斂的條件，即滿足式(7)時，可得s5在左半復(fù)平面，畫出系統(tǒng)的Nyquist曲線，如圖5～圖7所示。

圖5 平動子系統(tǒng)的Nyquist曲線

此時，開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)極點(diǎn)s5在左半復(fù)平面，即右半復(fù)平面只有一個極點(diǎn)(N=1)。而Nyquist曲線繞(-1,0)點(diǎn)逆時針繞了一圈。此時,Z=N-P=0，即閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖6 轉(zhuǎn)動子系統(tǒng)的Nyquist曲線

與平動子系統(tǒng)類似，轉(zhuǎn)動子系統(tǒng)的Nyquist曲線右半復(fù)平面只有1個極點(diǎn)(N=1)，且曲線繞(-1,0)點(diǎn)逆時針繞了1圈。此時,Z=N-P=0，即閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

而隨著η的逐漸增大，曲線發(fā)生形變，并且繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)動，當(dāng)η大到一定程度后，曲線不再繞(-1,0)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1周，即P=0，此時,Z=N-P≠0，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此參數(shù)η不能取值過大。例如，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為12 000 r/min時，當(dāng)η>34 745時，系統(tǒng)會發(fā)生失穩(wěn)。η=34 745時的Nyquist曲線為圖7所示。

圖7 η=34 745時轉(zhuǎn)動子系統(tǒng)的Nyquist曲線

3 對含有虛數(shù)單位j的傳遞函數(shù)的研究

注意到T(s)有虛數(shù)單位j,故不能直接將變量重構(gòu)后的系統(tǒng)用SIMULINK進(jìn)行仿真。根據(jù)變量重構(gòu)的性質(zhì)，如果傳遞函數(shù)中出現(xiàn)j，則該兩自由度必定存在耦合，即該系統(tǒng)為一個雙輸入雙輸出的耦合系統(tǒng)。

假設(shè)一個帶有虛數(shù)單位j的傳遞函數(shù)為M(s)，且M(s)=A(s)+jB(s)。假設(shè)輸入、輸出分別為αi+jβi,αo+jβo，則

αo+jβo=(αi+jβi)·M(s)

=αi·A(s)-βi·B(s)+

j(αi·B(s)+βi·A(s))

(11)

可得

(12)

圖8 L(s)等效結(jié)構(gòu)

4 仿 真

由于3倍頻干擾在所有倍頻干擾中最明顯，對磁軸承控制系統(tǒng)的影響也最大，所以本文主要對3次諧波干擾進(jìn)行研究。參數(shù)如表1。

表1 系統(tǒng)的參數(shù)值

4.1 平動兩自由度子系統(tǒng)

平動兩自由度子系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速分別為18 000，30 000 r/min時對基于同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)陷波器和自適應(yīng)陷波器的陷波效果進(jìn)行仿真研究，如圖9所示，其中(a1),(a2)未加陷波器,(a2)(b2)加自適應(yīng)陷波器,(a3),(b3)加基于同步坐標(biāo)變換的陷波器。為了濾除高頻噪聲，在PID控制器之前加入低通濾波器。

圖9 平動子系統(tǒng)不同轉(zhuǎn)速陷波效果對比

由圖9可以看出，轉(zhuǎn)速為18 000 r/min時，基于同步坐標(biāo)變換的陷波器的系統(tǒng)收斂時間只有0.37 s左右，而自適應(yīng)陷波器的收斂時間約為4.3 s，前者收斂速度為后者的11.6倍左右。轉(zhuǎn)速為30 000 r/min時，前者收斂時間為0.36 s左右，后者收斂時間為4.7 s左右，前者收斂速度約為后者的13倍。

4.2 轉(zhuǎn)動兩自由度子系統(tǒng)

選取中速、高速兩種轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速進(jìn)行仿真。當(dāng)轉(zhuǎn)速為18 000 ，30 000 r/min時，將傳統(tǒng)自適應(yīng)陷波器的仿真效果分別與基于同步坐標(biāo)變換的陷波器的仿真效果進(jìn)行對比，如圖10所示，其中(a1),(b1)未加陷波器，(a2),(b2)加自適應(yīng)陷波器，(a3),(b3)加基于同步坐標(biāo)變換的陷波器。

圖10 轉(zhuǎn)動子系統(tǒng)不同轉(zhuǎn)速陷波對比

由圖10(a)可知，在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為18 000 r/min時，基于同步坐標(biāo)變換的方法和自適應(yīng)陷波器都能有效抑制諧波。而前者的動態(tài)性能更好，基于同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換的陷波器大約為0.36 s，傳統(tǒng)自適應(yīng)陷波器的收斂時間大約為3.2 s，前者的收斂速度是后者的8.9倍。

在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為30 000 r/min時(高速)，基于同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換的陷波器收斂時間大約為0.35 s，傳統(tǒng)自適應(yīng)陷波器的收斂速度大約為3.5 s，前者收斂速度大約是后者的10倍。

很明顯可以發(fā)現(xiàn)基于同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換的陷波器的動態(tài)性能明顯要優(yōu)于傳統(tǒng)自適應(yīng)陷波器，體現(xiàn)在收斂時間上，基于同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換的陷波器能比傳統(tǒng)自適應(yīng)陷波器更快地收斂。

5 結(jié) 論

本文針對磁懸浮高速鼓風(fēng)機(jī)倍頻諧波過大的問題(主要為三次諧波)，設(shè)計了一種基于同步坐標(biāo)變換的陷波器，可以從徑向4個自由度對諧波進(jìn)行抑制。與傳統(tǒng)的自適應(yīng)方法相比該新方法具有計算量小，動態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)。對30kW磁懸浮鼓風(fēng)機(jī)系統(tǒng)的仿真驗(yàn)證了基于同步坐標(biāo)變換的陷波器方法的有效性。