借助直觀模型，促進算理與算法的有效融合

楊琳 杜英兵

摘 要：借助直觀模型，引導學生動手操作，用直觀模型感悟算理，促進算理與算法的有效融合。

關鍵詞：直觀模型;建立數感和符號意識;算理與算法

一、研究背景

本文以兩位教師執教兩節公開課為例，研究借助直觀模型，促進算理與算法的有效融合，提升學生直觀抽象、數學運算、數據分析及數學建模等核心素養。課程標準明確要求，通過數學學習，要讓孩子獲得四基（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗），增強四能（發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力），理解核心概念。怎樣計算是教學的重要內容，但僅此絕不充分，還要讓孩子明白為什么這么計算，也就是必須明白算理。實現算理與算法的融會貫通。直觀模型指的是具有一定結構的操作材料和直觀材料，如小棒、計數器、長方形或圓形圖、直線等。而只有用好直觀模型才能更好地促進算法與算理有效融合?！八憷怼笔菍W生走向“算法”的橋梁，是學生學習“算法”的知識基礎，而“算法”是學生學習的中心任務。處理好算理和算法的關系，引導學生循“理”入“法”，以“理”馭“法”，要借助模型，建立聯系，實現算理與算法的融會貫通。將“借助直觀模型，促進算理與算法的有效融合”作為研究主題，以此為抓手，對數學計算教學中存在的問題進行反思、總結，在研究中促進教師專業發展和學生運算能力的提高。

二、研究內容

1.用好直觀模型，促進對算理的“真”理解。

2.借助直觀模型，建立聯系，實現算理與算法的有效融合。

3.深入理解算理和算法的內涵。

4.進一步明晰算理與算法的關系，探討在教學中如何借助直觀模型，促進算理與算法的有效融合。

5.探討教學中如何借助直觀模型，促使算理直觀和算法抽象有效融合的具體措施。

三、研究目標

1.引領教師圍繞專題學習、思考、實踐，在科學理論的指導下，尋求計算教學中借助直觀模型，促進算理與算法的有效融合，促進教師專業成長。

2.引導學生掌握科學的算理和有效的算法，提高計算的效率，提升學業成績，激發學習計算課的熱情，體驗學習計算課的快樂。

3.打造研究型的教師隊伍，將教學推向科研的軌道，促進學校教學科研可持續發展。

四、研究過程

1.深入鉆研教材，全面整理小學階段計算課教學內容及目標

理論學習后，我校數學教師明確《義務教育數學課程標準》中對“算理和算法”相關的教學指導意見，深入鉆研教材，對小學階段整數、小數、分數四則運算的教學內容進行全面的整理，并對目標進行分析。從中我們發現對計算課中的“算理”和“算法”教學目標的表述所使用的行為動詞有所不同，“算理”使用“理解”“經歷……過程”“探索”等描述過程目標的行為動詞，“算法”使用了“會”“能”“掌握”等描述結果目標的行為動詞。

2.圍繞專題研究內容，采用“三備課兩執教”的教研模式扎實開展研究

專題研究的有效開展離不開課堂教學，立足于課堂，邊研究邊實踐，才能將所學的學科理論知識內化為我們的教學行為。為此，我們把專題的研究和日常教學活動緊密地結合起來。低段備課組根據教學內容制定了相應的專題研究內容和計劃。采用“三備課兩執教”的教研模式開展課例研究，并將研究的全過程記錄下來，確保專題研究扎實有效?！叭齻湔n兩執教”教研模式，即執教教師第一次備課后，將教學設計發送到低段備課組群，全體數學教師在集體備課時評論、研討，執教教師參考建議，修改教學設計，進行二次備課。接著開始第一次正式執教，組織教師聽、評課，請骨干教師指導教學，查找存在的問題。根據指導建議，進行第三次備課，最后第二次執教，上好專題研究展示課，將研究的成果與全體教師分享。

五、如何借助直觀模型，促進算理與算法有效融合的策略

著名數學家華羅庚曾說：“數無形時少直觀，形無數時難入微”。縱觀兩節課，教師都舍得花時間，慢下來，借助直觀模型，讓學生去說理，去感悟算理，去理解每一步運算的道理，然后掌握具體的計算方法，形成計算技能。只有學生明確了算理和具體的方法，在生活中才能靈活、簡便地進行交流?！叭绾谓柚庇^模型，促進算理與算法有效融合”便成為有效實施計算教學的根本點和出發點。

1.借助直觀操作，利于學生“知其然”

A老師執教的“100以內數的不退位減”，先出示情景圖（人教版二年級上冊17頁的情景圖）引導學生觀察思考并提出問題列出算式36-23=。怎樣計算36-23呢？①擺一擺：請用小棒擺一擺，并思考如何計算36-23。師問3捆小棒3表示什么？6根小棒6表示什么？②畫一畫：請在導學單上畫一畫，用圓片圖來表示36-23的計算過程。老師把小棒換成圓片在黑板上直觀演示，老師又問：“十位上的3表示什么？個位上的6表示什么？”緊接著老師演示課件讓學生觀察，口述過程，強調從個位的6個中去掉3個，從十位的3個中去掉2個;③寫一寫：結合學過的加法的豎式寫法，嘗試寫出36-23的豎式計算。如何列豎式筆算？小組討論，

匯報，老師根據學生的口述列出算式;④列豎式計算時應注意什么？⑤歸納算法，先從哪位算起？再算哪位？借助學生已有的口算方法進行豎式計算，借助直觀模型操作幫助學生明白一般先做什么，再做什么，最后做什么？逐步經歷從動作思維到形象思維，再到抽象思維的過程，讓學生真正從操作中有所收獲，學生將操作中獲得的感性認識抽象“豎式”這一數學符號。學生在動思相融的操作過程中，理解“形”和“數”之間的聯系。

2.在直觀的動手操作中經歷算理的探索過程，使學生真正“知其然”

B老師執教“退位減”課中，解決51-36看似簡單的計算，但要真正使學生理解，也不簡單。在學生利用已學的知識和生活經驗解決這個問題的基礎上，把課的重心放在兩位數減兩位數的退位減的算理上，形成算法。51-36=。你會算嗎？引導學生擺小棒，在學生擺小棒的過程中老師提問：①為什么要拆開5捆中的一捆嗎？不拆可以嗎？②現在應該怎么減？減完后還剩下幾捆幾根？從而引出列豎式計算想一想先算什么？夠減嗎？怎么辦？水到渠呢，個位不夠減從十位退1。演示算理的同時書寫豎式，就將抽象的豎式與形象的直觀模型建立，豎式中的每一部分對應模型中的相應部分。在這種“轉化”過程中學生理解了為什么這樣轉化，也就是理解了算理。

3.溝通知識間的聯系，實現“知其所以然”

計算方法是一個逐漸領悟的過程，在算理直觀與算法抽象之間架設一座橋梁，讓學生充分體驗逐步完成動作思維到形象思維，再到抽象思維的過程。B老師讓學生對比36-23與51-36，這兩道題在計算上有什么相同點，有什么不同點？如何進行兩位數減兩位數的豎式計算？計算時要注意什么？學生在親身經歷“結果”形成的過程中發展思維。教學中沒有刻意追求得出所謂形式上的計算法則，但學生所說的不就是算理算法的核心嗎？“理”通了，“法”就順了。借助直觀，為學生理解算理提供支撐的直觀材料，建立感悟算理橋梁，從而達到算理與算法的有效融合。

4.讓錯誤成為資源，通理曉法，夯實計算基礎

孩子在計算中出現的錯誤，往往被我們認為是習慣不好，粗心大意，極易被忽視。殊不知這種“忽視”會讓“馬虎”的幌子掩蓋了問題的真相，是孩子算理不通，還是算法不明，只有辨別清楚“真偽”之后，才能幫助孩子通理曉法，對癥下藥。在計算教學中，我最深刻的感受是：計算教學要理法融合，用好直觀模型，理清“算理”，才能探得“通理曉法”這朵花。

六、研究成效

1.學生的變化

（1）學生的學習方式變了

從前學生的學習方法是灌輸式、注入式，所以他們在學習算法時被動接受算法。而現在，借助直觀模型，學生可以在活動中自主探究算理，真正做到將算理與算法有效融合。

（2）學生的計算能力在逐步提高

從學生的作業和試卷中我們可以清晰地看到學生的錯題在逐漸減少，在期末測評及平時的計算能力競賽中，我們都會對數據進行分析，數據結果表示學生的正確率上去了，計算能力提高了！

2.教師的變化

（1）教師教學方式變了

傳統的教學方式是教師一張嘴、一支粉筆，從頭講到尾。而現在教師在課堂上運用“討論”“探究”“情境”“發現”等方法，真正使學生成為課堂主人，而教師則是學生學習的組織者、引導者、合作者。

（2）促進教師整體素質的提升

在多次的專題研討及課堂教學展示活動中，教師都能圍繞“借助直觀模型，促進算理與算法的有效融合”進行深入探討，在研究中不斷反思、總結，提升了自身業務素質及教科研水平。

七、研究中的困惑及今后研究方向

在專題研究的過程中，我校數學教師教學理念發生了很大的轉變，在教學中不斷改善教學方法，在計算教學中算理和算法得到了有效融合，學生的計算能力明顯提升。同時在研究過程中也遇到了一些困惑，如，教學中個別教師專注于理解算理，用了大量時間讓學生去探索算理，算法練習的時間相對減少，總感覺40分鐘不夠用等。在計算教學中，如何把握算理和算法教學時間的合理分配;如何處理算法多樣化和算法優化之間的關系;如何將計算與應用問題進行融合;如何處理估算和精算之間的關系等成為擺在當前計算教學中亟須解決的問題，希望得到各位專家及同行的指導。

針對以上困惑及問題，在今后的工作中我們將繼續扎實開展借助直觀模型，促進算理與算法有效融合策略的研究工作，將專題做得更細致，進而確保專題研究的高水平、高質量！

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基金項目：本文系寧夏第五屆基礎教育教學課題“基于數學核心素養的高中數學教學實踐研究”（課題編號：JXKT-ZS-05-078）的研究成果。

編輯 王亞青