《三次函數的圖象》教學案例設計

于厚剛

（深圳市第二高級中學，廣東 深圳 518000）

一、任務分析

本片斷是人教A版普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修2-2第一章1.3.3節習題1.3，B組第2題.要求學生利用信息技術研究三次函數的圖象，完成兩個任務：1.歸納三次函數圖象的大致形狀；2.研究三次函數的單調性.

本習題放在1.3節后，學生已掌握用導數研究函數的單調性、極值、最值的方法。三次函數具有豐富的性質，利用導數研究這些性質，其研究的過程和方法具有普適性、一般性和有效性，可以遷移到其他函數的研究中.

特別在高考中有明確要求，會求三次多項式函數的單調區間、極值、最值，三次函數的考查和應用也非常廣泛。

本課學習是以三次函數的圖象的形狀特征為主線，探索三次函數的單調性、極值。其中需要學生自己確定研究的問題，構建研究的思路，設計研究的方法，獲得三次函數的圖象與性質，在此過程中，體會數形結合、分類與整合、化歸與轉化等思想方法。

二、教學目標

1.會用圖形計算器畫三次函數的圖象，并根據單調性歸納出三次函數的四種類型。

2.能運用導數研究三次函數的單調性和極值，并在這一過程中進一步理解導數思想，鞏固用導數研究函數性質的方法。

3.理解系數對四種類型的三次函數圖象的影響。

重點：在研究三次函數性質的過程中，進一步理解導數思想，鞏固用導數研究函數性質的方法。

難點：確立研究思路，確定分類標準，理解系數對三次函數圖象的影響。

三、學生學情分析

學生已經學習完導數的知識，對用導數研究函數性質的方法有了基本認識。但研究一類函數的圖象與性質還是比較復雜，不僅需要調動二次函數、導數等廣泛的知識，還需要有清晰的研究思路和分類標準，本節課對學生的知識、能力有較高的要求。

四、教學方法

（一）實驗探究法

這道習題第1問要求學生通過信息技術畫圖后歸納函數圖象的形狀，估計單調區間，第2問才讓學生運用導數研究它的單調性。這是典型的實驗探究法。先動手試、找規律，再動腦想原因。本節課就遵循這道題的意圖，讓學生在自主活動的基礎上進行思考、領悟、糾錯、生成。

（二）應用現代教育技術

三次函數學生比較陌生，所以這道習題提出讓學生利用信息技術研究三次函數，本節課采用圖形計算器這一工具，先讓學生對三次函數有直觀認識。

1.搭建無線網絡平臺，實現學生活動的實時上傳與共享。借助圖形計算器創造一個及時反饋互動的平臺。

2.利用圖形計算器的“圖形”功能，快速繪制函數圖象，圖形計算器的“幾何”功能中，可以通過描出五個關鍵點就能畫出一個拋物線，讓學生可以憑直觀感覺畫導函數的形狀，并通過“函數”“求導”功能，對畫出的導函數進行驗證。

五、教學過程

先讓學生推測出系數d對函數的單調性無影響，再讓學生根據a，b，c的取值分組用圖形計算器畫的圖象，教師通過無線網絡平臺展示同學們畫出的圖象。

設計意圖：讓學生利用圖形計算器對三次函數的圖象有直觀認識。根據a，b，c的取值分組畫圖象只是為了圖象盡可能多樣化，并不是分類標準。

選取典型的圖象讓學生回答圖象的單調性，并思考如何將三次函數按單調性分類，并回答單調區間。

設計意圖：根據直觀分類，說單調區間時需要用到極值點，引出用導數研究三次函數的單調性和極值。

學生先用圖形計算器的“幾何”功能描點畫導函數的圖象，在畫的過程中思考關鍵點，能說明自己這樣畫的理由，再用圖形計算器畫出導函數圖象驗證自己的想法。最后歸納每一類三次函數的系數特征。

設計意圖：學生在描點的過程中體會函數的極值點是導函數的零點，根據原函數的單調性定導函數的正負，再根據二次函數的圖象特征就容易想到用a與Δ作為分類標準。

思考：存在只有一個極值點的三次函數嗎？

設計意圖：通過這個問題讓學生反思剛才對三次函數的歸類是否完整。

3.活動三：習題解答

（1）歸納函數圖象的大致形狀

（2）求出相應的單調區間

設計意圖：通過解答習題對本片斷內容進行總結歸納。