構造法在求數列通項公式中的應用探究

李佳

（河北省唐山市開灤一中，河北 唐山 063000）

數列通項公式的求解方法包括累加法、構造法、待定系數法以及特征根法等，而構造法是是通過題型當中的數據、坐標或者外形等特征，利用題目中的一些給定的已知條件，應用數據關系式與相關數學理論，在解題思維意識中構造出滿足已經條件或者結論的數學對象，進而使求解的問題答案能夠構造出的數學對象當中體現出來。應用構造法解決數列通項公式的相關問題，省時省力，而且求解的答案也具有較高的精準度。

下面以構造法求解數列通項公式的一些常用類型為例，對構造法的解題思路進行闡釋。

一、an+1=pan+q型（p、q常數且p≠1）

例題1：數列{an}中，a1=1,an+1=2an+1則an=?

解：∵an+1=2an+1

∴an+1+1=2an+2=2（an+1）

又∵a1+1=2

∴an+1+1=2,an+1=2

{an+1}是首項為2公比為2的等比數列

an+1=2·2n-1=2n，∴an=2n-1

例題2：已知數列{an}，a1=1，an+1=2an+5,求數列{an}通項公式？

本題的解題思路是：將an+1=pan+q型轉化為an+1+t=p（an+t）型，以此構造成等比數列再注該題的通項公式。

解：將an+1=2an+5轉化為an+1+t=2（an+t），展開可求得t=5，即an+1+5=2（an+5）。

∴數列{an+5}是以a1+5=6為首項、公比為2的等比數列，由等比數列通項公式得an+5=6·2n-1。

∴an=6·2n-1-5

二、an+1/an=f（n）型

已知數列{an}，a1=1，an+1=n/n+1·an，求數列{an}通項公式。

解：∵an+1/an=n/n+1，

∴a2/a1=1/2，a3/a2=2/3，…，an/an-1=n-1/n。

如果將上n-1個式子左右兩這分別相乘得到an/a1=1/n。

又∵a1=1，∴an=1/n。

三、an+1-an=f（n）型

例題1：已知數列{an},a1=0，an+1=an+2n-1，求數列{an}的通項公式[1]。

此題的解題思路是可將an+1=an+2n-1轉化成為an+1-an=f（n），利用累加法求通項公式。

解：∵an+1-an=2n-1

∴a2-a1=2×1-1，a3-a2=2×2-1，依次類推得到：an-an-1=2（n-1）-1

將以上的n-1個式子兩邊分別相加得到：

an-a1=2[1+2+3…+（ n-1）]-（n-1）

∴an=（n-1）2

例題2：在數列{an}中，a1=1，an+1=（1+1/n）an+n+1/2n，設bn=an/n，求數列{bn}的通項公式？

解：由已知條件得出，an+1/n+1=an/n+1/2n，∴bn+1-bn=1/2n，∴b2-b1=1/2，b3-b2=1/22，…，bn-bn-1=1/2n-1（n≥2）。于是bn=b1+1/2+1/22+…+1/2n-1=2-1/2n-1（n≥2），由于b1=1也滿足上述公式，∴通項公式bn=2-1/2n-1。

四、an+1=pan+f（n）型

設數列{an}的前n項和為sn，a1=1，sn+1=4an+2。求（1）設bn=an+1-2an，證明數列{bn}是等比數列。（2）求數列{an} 的通項公式。

（一）解：由 a1=1及 sn+1=4an+2， 有 a1+a2=4a1+2， a2=3a1+2=5，∴b1=a2-2a1=3。

由sn+1=4an+2 ①

由當n≥2時，有sn=4an-1+2 ②

由①-②可得an+1=4an-4an-1，∴an+1-2an=2（an-2an-1）

又∵bn=an+1-2an，∴bn=2bn-1。

∴該數列{bn}是首項為b1=3、公比等于2的等比數列。

（二）解：由（1）可以得出bn=an+1-2an=3·2n-1，∴an+1/2n+1-an/2n=3/4

∴數列{an/2n}是首項等于1/2、公差等于3/4的等差數列。

∴an/2n=1/2+（n-1）3/4=3/4n-1/4，即an=（3n-1）·2n-2

在該題中的第個問題當中，由于an+1-2an=3·2n-1是an+1=pan+qn（p，q常數）型，在解題時，只需將兩邊同時除以qn+1，再利用構造法求解該數列的通項公式[2]。

五、an+2=pan+1+qan型

已知數列{an}滿足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an，求數列{an}的通項公式。

本題的解題思路是：假如p+q=1，則構造成為an+2-an+1=（p-1）·（an+1-an）。

解：∵an+2=3an+1-2an，∴an+2-an+1=2（an+1-an）。

∴數列{an+1-an}是以a2-a1=2首項，公比為2的等比數列。

∴an+1-an=2×2n-1=2n。

∴a2-a1=2，a3-a2=22，…，an-an-1=2n-1。

將以上n-1個式子兩邊分別相加得到：an-a1=2+22+…+2n-1，

∴an=2n-1。

結束語：

構造法是求解通項公式較為常用的方法，學生在解題過程中，只有具備扎實的數學理論基礎，經常性的對所學過的數學知識進行溫習，在應用構造法解決數列通項公式問題時能夠靈活運用正確的數學理論以及便捷高效的解題方法，求數列通項公式的問題也會迎刃而解。