不同替代模型在地下水污染源釋放歷史反演中適用性研究

邢貞相，曲睿卓，趙 瑩，紀 毅，張 涵

（1.東北農業大學水利與土木工程學院，哈爾濱 150030；2.農業部農業水資源高效利用重點實驗室，哈爾濱 150030）

隨著城鎮化建設和經濟快速發展，地下水污染日益嚴重。地下水系統復雜，污染源信息不易獲取[1]，難以在源頭治理地下水污染，治理成本高、難度大[2]，治理修復措施無法完全發揮作用[3]。因此，降低地下水污染風險，識別地下水污染源特征成為當前研究重點。Bagtzoglou和Atmadja運用直接水文反演方法，重建保守污染羽空間分布[4]。Alapati和Kabala使用非線性最小二乘法識別地下水污染物羽流釋放歷史[5]。優化算法是解決地下水反演問題最普遍且高效的方法[6-7]。優化算法分為局部優化算法[8]和啟發式算法[9]。相對于局部優化算法，啟發式算法不會陷入局部極小值，可解決非凸模型優化問題，廣泛應用于地下水污染源識別[10]。遺傳算法（Genetic algorithm，GA）是最常見啟發式算法，應用于解決二維含水層中污染源反演問題，可提高模型計算效率[11]。利用GMS軟件中MODFLOW和MT3D兩個模塊可建立地下水污染運移過程模擬模型，將優化模型與模擬模型結合，通過反演求得污染源釋放過程。遺傳算法可提高計算效率，但反演過程反復調用模擬模型，耗時較長，適用性較弱。替代模型計算時間短，功能與模擬模型相似。替代模型研究中，曾主要以人工神經網絡（Artificial neural network,ANN）為主[12]。Zhao等研究發現克里格（Kriging）模型在相同地質條件下，反演速度和準確性均優于ANN[13]。其他替代模型包括雙響應面法[14]、BP神經網絡模型[15]、徑向基函數神經網絡（RBF）[16]、支持向量機法（SVM）[17]等。

替代模型是解決地下水污染源反演有效方法，但不同替代模型對水文地質條件區域適用性不同。因此，本文選用Kriging、廣義回歸神經網絡（GRNN）和最小二乘支持向量機法（LSSVM）3種應用較廣泛替代模型，對比分析不同復雜水文地質條件下其對地下水污染源釋放歷史反演適用性。目前Kriging和RBF替代模型較廣泛。但RBF替代模型存在難以確定隱層節點等問題且適用性一般，故選用GRNN替代模型。GRNN替代模型在學習速率與逼近能力方面明顯優于RBF替代模型[18]。選擇LSSVM作為替代模型速度更快、精確度更高[19]。為探究3種替代模型適用性，將選擇相同輸入輸出訓練模型，從模型學習能力和反演時間、準確性和穩定性等方面評價。

1 研究方法

1.1 克里格（Kriging）

Kriging模型是依據協方差函數對隨機過程空間建模和預測回歸的算法[20]。其基本形式為：

其中x代表輸入數據，y（x）代表模型輸出，g（x）代表原始函數全局模型，Z（x）代表高斯隨機函數。Z（x）協方差可計算如下：

其中R代表相關函數，r代表對稱相關矩陣，n代表樣本數。

1.2 廣義回歸神經網絡（GRNN）

廣義回歸神經網絡具有很強非線性擬合能力和柔性網絡結構[21]，GRNN模型由輸入層、模式層、求和層和輸出層組成。輸入層神經元數目等于學習樣本中輸入向量維數。模式層為隱含層，其神經元數目等于樣本數n，神經元i傳遞函數為：

式中，xi為各單元核函數中心向量。

在求和層中，計算模式層各單元輸出之和與模式層各單元輸出加權，其傳遞函數分別為：

式中，yi為各訓練樣本加權和權重值；最后由輸出層計算輸出，輸出層神經元數目等于樣本中輸出向量維數[22]，公式為：

1.3 最小二乘支持向量機（LSSVM）

LSSVM用于解決模式分類和函數估計問題，通過計算樣本最小平方誤差擬合。其功能描述如下[23]：

訓練樣本集是{( xi,yi)|i=1,2,…,n} ，xi是輸入變量值，yi是對應輸出變量。其中x是輸入向量，ω是權重向量，d是偏差，φ是高維特征空間映射。根據結構風險最小化原則，尋求ω最小化方程為：

其中γ是懲罰因子，ei是誤差控制函數。將約束條件在方程式（8）中給出：

根據（Karush-Kuhn-Tucker）KKT條件，LSSVM方程兩邊偏導數為：

式中，y=[y1,y2, …,yn]T，a=[a1,a2, …,an]T，lv=[1,1，...，1]T，I為單位矩陣，g為相鄰矩陣。g（xi,xj）=φ（xi）Tφ（xj）,i,j=1,…,n,為滿足Mercer理論核矩陣[24]。徑向基函數具有廣泛收斂域和強泛化能力，為理想回歸核函數。可表示如下：

式中，σ-核寬度參數，影響LSSVM在特征空間中獲得最優分類超平面泛化能力。LSSVM預測模型可表示為：

1.4 評價指標

為驗證替代模型精度，采用確定性系數（R2）、相對誤差（RE）和均方根誤差（RMSE）3種精度評估指標。R2越接近1，表示模型擬合精度越高。RE和RMSE越接近0，表示模型精度擬合精度越高。其公式如下：

①確定性系數（Coefficient of determination,R2）

式中，yi為模擬模型輸出值，即真實觀測濃度值；y?i為替代模型輸出值；yˉi為模擬模型輸出值平均值。

②相對誤差（Relativeerror,RE）

2 地下水流數值模擬模型建立

2.1 替代模型建立

利用拉丁超立方抽樣方法對模型輸入抽樣，即為地下水污染源釋放濃度。本文研究3種不同水文地質條件案例分別有500組輸入數據。分別輸入GMS模擬模型中，得到500組輸出值，即得到觀測井觀測濃度值。將其中相同450組輸入和輸出作為3個替代模型訓練樣本，利用剩余50組輸入和輸出數據作為檢驗組驗證替代模型精度。

2.2 替代模型驗證

3種替代模型不同情況下模擬表現存在差別，不同案例情況下3種替代模型得到訓練，驗證模型精度，分析模型學習能力。結果見表1和2。

確定性系數反映模型預測值與實際觀測值擬合度，其可檢驗替代模型模擬能力，但無法檢驗預測極值能力。而相對誤差對模擬值中極大或極小值誤差反映敏感。通過模擬3個案例觀測值發現，3種替代模型R2均在0.9以上，RE均在20%以內。說明建立這3種替代模型有效，可運用于后續反演。對比發現，GRNN替代模型學習能力較弱，但表現較穩定，在案例1和案例2條件下R2和RE較接近。在案例3情況下，模擬精度下降。Kriging替代模型學習能力較強，R2均在0.99以上，但對于極小值和位置較遠觀測井觀測值模擬能力較弱。在案例3中，第6、7觀測井位置RE高于其他口井位置。LSSVM替代模型在水文地質較為簡單情況下，預測能力較強，隨水文地質條件變化，R2降低，RE增高。通過案例1和案例3對比可知，LSSVM在復雜水文地質條件適用性較差。

2.3 地下水污染源識別模型建立

完成Kriging、LSSVM和GRNN替代模型建立后，將其替代模擬模型與優化模型結合，反演地下水污染源釋放過程。運用Matlab中GA優化工具箱求解未知參數，種群數為20，迭代200次達到收斂。當觀測數據存在噪聲時，優化過程增加至迭代500次。

表1 替代模型在案例1中模擬結果Table1 Simulation resultsof surrogatemodelsin case 1

表2 替代模型在案例2和案例3中模擬結果Table 2 Simulation resultsof surrogate modelsin case 2 and case3

2.4 測量誤差

由于野外和實驗室研究均可能存在測量誤差，觀察濃度具有不確定性。因此，實際濃度如下式：

其中C為觀測污染物濃度。ε是誤差矩陣，表示數據中存在噪聲水平。如果a＜0.10，則噪聲水平低。如果0.10≤a≤0.15，則噪聲水平適中。如果a>0.15，則噪聲水平高。

3 案例分析

3.1 二維規則邊界穩流均質含水層（案例1）

本研究通過3種不同水文地質條件案例，測試反演模型性能。第1種水文地質研究區域平面圖見圖1。

圖1 案例1含水層結構平面Fig.1 Aquifer structureplane of case 1

含水層模型邊界條件是東側和西側特定水頭線性變化，北側和南側無流動。該含水層有3個污染源和4個采樣點，每個采樣點采集污染濃度。模擬時間為5年（60個月），分為20個相等壓力期，每個壓力期持續3個月。假設源在前4個壓力期間釋放污染物。表3列出實際污染源釋放濃度。根據上述建立模擬-優化模型對案例1作地下水污染源釋放過程反演，得到結果見圖2，誤差分析結果見表4。

由圖2可知，3種替代模型反演結果與真實地下水污染源釋放濃度較接近。R2均在0.99以上，RE均在5%以內，RMSE均為1.5。說明案例1水文地質情況下，3種替代模型反演精度較高，適用性較好。

表3 案例1地下水污染源流量實際值Table 3 Actual value of groundwater pollution sourceflux in Case 1

圖2 不同替代模型對案例1污染源釋放歷史反演結果Fig.2 Retrieval results of different surrogatemodels on the release history of case 1 pollution sources

表4 案例1反演結果誤差Table 4 Retrieval result error in case 1

3.2 二維非規則邊界非均質穩流含水層（案例2）

案例2研究區域是幾何不規則形狀，含水層不均勻，平面圖見圖3。該含水層有5個不同水力傳導帶，每個區域水力傳導率值恒定。水力傳導率值為：K1=0.0004 m·s-1，K2=0.0002 m·s-1，K3=0.0001 m·s-1，K4=0.0003 m·s-1，K5=0.0007 m·s-1s。

該含水層有2個污染源和7個取樣點。模擬時間為10年（120個月），且分為20個相等壓力期，每個應力期持續6個月。假設源在前4個應力期釋放污染物。

表5列出實際污染源釋放濃度。反演結果見圖4，誤差分析結果見表6。

圖3 案例2含水層結構平面Fig.3 Aquifer structure plane of case 2

表5 案例2地下水污染源流量實際值Table 5 Actual value of groundwater pollution source flow in case 2

圖4 不同替代模型對案例2污染源釋放歷史反演結果Fig.4 Retrieval results of different surrogate models on the release history of case 2 pollution sources

表6 案例2反演結果誤差Table6 Retrieval result error in case 2

由表6可知，在案例2較復雜含水層條件下，Kriging和LSSVM替代模型表現較穩定。與案例1相比，Kriging和LSSVM替代模型R2下降0.02%，RMSE升至2.20，RE均小于10%，表明兩種模型對案例2含水層條件適用性較好。而GRNN替代模型RE和RMSE均較高，且R2下降0.07%。雖然反演結果在合理范圍內，但相較于其他兩種模型，反演結果誤差較大。

3.3 二維非規則邊界非穩流非均質含水層（案例3）

由圖5可知，含水層其他特征與第2種情況相同。與案例2不同的是，1個抽水井存在于地質層中心，模擬地下水水流瞬態流動和瞬態傳輸條件。所需反演實際值與案例2相同。反演結果如圖6所示，誤差分析結果如表7所示。

由圖6和表7可知，Kriging替代模型反演結果較其他2種替代模型更優，R2接近0.99，RE在10%以內且RMSE為2.8。運用LSSVM替代模型反演結果不如Kriging替代模型，但相較于案例2，表現較穩定。其RE在10%以內，RMSE在5以內，說明在案例3情況下，LSSVM替代模型適用性較好。運用GRNN替代模型反演結果精度較低，R2小于0.9，RMSE為6.62，RE高達20%以上，誤差較大。說明GRNN替代模型對于案例3水文地質情況適用性較差。

為進一步檢驗3種替代模型結合優化模型對地下水污染源釋放歷史反演適用性和穩定性，反演結果和誤差分析見圖7。

圖5 案例3含水層結構平面Fig.5 Aquifer structureplaneof case 3

圖6 不同替代模型對案例3污染源釋放歷史反演結果Fig.6 Retrieval results of different surrogate models on the release history of case 3 pollution sources

表7 案例3反演結果誤差Table7 Retrieval result error in case 3

圖7 在不同噪聲水平下替代模型反演結果誤差分析Fig.7 Error analysis of the retrieval results of surrogate models at different noiselevels

隨噪聲水平增加，反演結果誤差增加。在無噪聲情況下，運用GRNN替代模型反演精度較低，反演結果較合理。當觀測值存在噪聲情況下，即使在低噪聲水平下，反演結果RE高達26.88。在高水平噪聲條件下，R2降至0.7，反演結果較差。而LSSVM替代模型，隨噪聲水平增加，反演結果誤差變大，但該模型表現穩定，誤差值上升平穩。在中等噪聲水平或以下，反演結果和Kriging替代模型反演結果接近。與前兩種替代模型相比，Kriging替代模型在噪聲水平a=10%情況下，R2在0.96以上，RE為10%，RMSE小于5，說明在中等噪聲水平下，運用Kriging替代模型反演精度良好。此外，由圖7可知，即使在高水平噪聲下，Kriging替代模反演精度被接受。

綜合以上3個案例反演結果發現，Kriging替代模型適用于所有案例，觀測值存在較高水平噪聲時可獲得精度較高反演結果。LSSVM替代模型適用于所有案例，但在觀測值噪聲水平較高情況下適用性次于Kriging替代模型。而GRNN替代模型僅在案例1和案例2水文地質條件下適用性優良，在案例3中反演精度較低。尤其在觀測值存在噪聲情況下，反演結果可能不被接受。提出替代模型主要目的是提高計算效率。在3個替代模型反演過程中，分別記錄反演所需時間。對比可知，運用Kriging替代模型反演過程所需計算時間是LSSVM和GRNN反演所需時間2倍。

4 結論

本文分別運用Kriging、LSSVM和GRNN建立替代模型，結合遺傳算法反演3種不同含水層條件和多個噪聲水平下地下水污染源釋放過程。重點討論相同情況下3種替代模型反演精度和各單一替代模型在不同復雜情況適用性，研究成果可為解決案例相似條件下地下水污染源釋放歷史反演現實問題中替代模型有效選擇提供試驗支撐。本文在研究過程中設定3種案例中監測污染物穩定不可降解，但監測污染物可被降解和吸附，后續將研究不穩定污染物污染源反演。

a.GRNN替代模型僅在簡單水文地質情況下適用性較好，其他較復雜情況下反演結果較差，尤其在非穩定流地下水含水層，但反演時間短。

b.LSSVM替代模型雖在復雜水文地質情況適用性優良且反演時間短，但當觀測值存在較大觀測誤差時，反演精度下降，適用性較差。

c.在3種替代模型中Kriging替代模型最為穩定，在復雜水文地質情況適用性更強，更適用于觀測值存在噪聲情況。但Kriging替代模型反演所需時間成本較高，現實應用應根據實際情況選擇替代模型。