基于“學力”視角，探覓數學概念教學

安徽銅陵市實驗小學 陳宗久

概念是數學的“細胞”，是數學教學的“基石”。學生數學學習，無論是“數與代數”“空間與圖形”還是“統計與概率”等都繞不開概念。基于學生“學力”發展視角，教師要將概念學習與學生數學思考、探究等結合起來，從而讓概念成為學生數學學習的基石，成為學生展開數學活動、體會數學思想方法的重要載體。

一、詮釋：數學概念的內涵

在“認知心理學”看來，所謂“概念”，是指“符號所代表一類具有共同標準屬性的對象、事物。”無論是內涵還是外延，概念都是動態和不斷發展的。在小學數學教學中，概念主要是反映事物數量關系和空間圖形的本質屬性的思維形式，它排除事物物理、化學等非數學屬性，聚焦于數、形等數學特征，因而具有普遍意義。數學學習，不僅要理解概念內涵，而且要把握其外延；不僅要洞察其本質，而且要建構結構。因此，學生理解、掌握、習得數學概念通常有兩種方式：概念形成和概念同化。所謂“概念形成”，是指從具體例證出發，通過歸納法抽取共同的本質屬性，這是一個“從無到有”的過程。所謂“概念同化”，是指“將新概念納入學生已有概念結構之中”，從而形成新的概念結構系統，這是一個“從舊到新”的過程。

二、尋繹：數學概念的特質

數學概念具有過程性和結果性、具象性和抽象性等相輔相成的特質。一般而言，數學概念形成之初是以過程性、具象性形態出現的，而數學概念誕生之態是以結果性、抽象性和結構性形態出現的。學生對數學知識正確認識和理解，是在數學概念不斷形成、發展、完善中形成的。

1.過程表征讓思維可見

數學概念本身具有高度抽象性，而學生思維卻是具體形象的。因此，數學概念必須借助具體形象的表征來實現。如“加法”，必須建立在物體合并操作基礎之上，只有通過合并操作，才能讓學生形成最初的“加”的概念，這就是概念形成。再如抽象的“乘法”，教師就可以引導學生計算具有多個相同加數的算式，從而讓學生自主建構“乘法概念”，這就是概念同化。概念產生過程反映了概念豐富的歷史背景和誕生過程，有助于將抽象數學問題和學生看不見的思維過程呈現出來。

2.結構表征助學力發展

每一個數學概念都不是孤立地存在的，而是與其他相關數學概念存在千絲萬縷的聯系。概念理解不僅是掌握此一概念或彼一概念的內涵，更要洞悉此一概念與彼一概念的關系、結構。良好的概念結構有助于概念同化，有助于促進學生學力發展。如教學“小數的認識”，在理解小數的意義基礎上，教師要引導學生溝通小數與分數的聯系，即小數是不帶分母的十進分數；要溝通小數與整數的聯系，讓學生準確把握“數位順序表”，為小數計算法則教學奠定基礎。這樣的教學，能促進學生數學結構表征力的發展。

3.抽象表征促進創造可能

揭示數學概念過程是逐級抽象的。因此，在概念抽象化的過程中，學生獲得的并非只是形式定義，也包括豐富、鮮活的表象。這種概念逐級抽象化過程有助于促進學生的數學創造。如“認識厘米”，重要的不是認識厘米概念本質——“1米的百分之一”，而是掌握厘米概念表象。教師借助“田字格”“回形針”等，讓學生建立“1厘米”表象。只有清晰概念表象，才能真正把握“厘米”。在這個過程中，學生會產生系列創造想法，如厘米有“圖釘”長、有“訂書釘”寬、有“大拇指指頭寬”，等等。并且，有了“厘米”概念表象，學生就嘗試著創造“厘米尺”。當學生借助“厘米”概念表象自主建構“米尺”后，反過來就能真正理解“厘米”概念本質。

三、深探：數學概念的建構

數學概念的建構過程實質上就是數學概念的不斷精致化、結構化、系統化的過程。即可以基于學生的前概念，對學生前概念進行適度提煉、加工、改造，也可以創生數學新概念。數學概念的建構既追求學生對數學概念的本質把握，也追求學生對數學概念的主動習得。筆者認為，這里重要的是要處理好數學概念與學生的思維對象之間的關系。

1.概念建構，激活學生建構之需

學生建構數學概念的根本動力是學生已有認知結構與新概念之間是否平衡。瑞士杰出教育心理學家皮亞杰深刻指出，學生已有認知結構與新概念之間是否平衡，決定著學生數學概念建構的效度。作為教師，要善于捕捉學生與概念之間的差異，并根據這種差異創設教學情境，激活學生內在的建構之需。

例如，教學“素數與合數”，教師可以借助學生學習“因數和倍數”的經驗，引導學生用不同數量的小正方形拼長方形。通過拼長方形，激發學生的數學思考：為什么有些數量的小正方形只能拼一種規格的長方形，而有些數量的小正方形可以拼多種規格的長方形？為什么拼一種長方形的規格的寬都是1？這種認知沖突，有助于學生建構“素數和合數”的概念。學生聯想到探究“因數和倍數”時，也是借助小正方形拼長方形。由此，學生深刻認識到：如果一個數的因數只有1和它本身兩個因數，以這個數為數量的小正方形拼成的長方形就只有一種規格，而其他數量的小正方形拼成的長方形的規格就絕對不止一種。概念建構，彰顯了學生的數學探究之美、思維之美。

實踐表明，只有建立在學生內需基礎上的概念建構，才有可能真正發揮學生主觀能動性、創造性。這種概念建構在給予學生知識、技能的同時，也生成了更為豐富的教學價值。

2.概念建構，呈現學生建構之態

概念建構是一個復雜的過程，包括概念的引入、抽象、形成和內化。概念建構過程不可能一蹴而就，而是一個循序漸進甚至反復的過程。因為學生對概念的真正內化也并不一定是一帆風順的。作為教師，要引導學生循序漸進地建構概念，呈現概念的建構之態。概念的逐步建構讓學生的數學學習向更深處漫溯。

例如，學生在學習“百分數的意義”這一內容前，已經學習了“分數的意義”。因此，在借助經驗幫助學生理解了“百分數的意義”后，教師要引導學生比較“分數”和“百分數”，逐步深化學生對百分數意義的認識，進而呈現學生的建構之態。如“百分數和分數在意義上有什么不同？”“百分數和分數的特征有什么異同？”這樣的問題，能讓學生將目光聚焦于百分數的概念，對之進行辨析。如“90%”和“”，兩者有著相等個數的計數單位，都是90個；前者的計數單位是1%，后者的計數單位是；前者強調平均分，后者強調一個數是另一個數的幾分之幾；前者不可以表示量，只可以表示率，后者既可以表示量又可以表示率，等等。正是在逐層比較建構中，學生逐步抽象出百分數的概念。這種概念的理解不僅停留于意義層面，而是深入到特征、應用層面。

數學概念建構要警惕過早形式化。只有引導學生逐層建構，才能悟得概念精髓。要讓數學概念在直觀中顯影、在理性中定格、在內化中成像。不僅要讓學生能夠進行操作表征、形象表征，也要讓學生進行符號、意義表征。

3.概念建構：彰顯學生建構之美

課改以來，許多教師都有意識地重視數學概念的形成過程，但由此也讓部分教師走入另一個極端，只注重概念具體性，而弱化了概念的“數學味”。學生對數學概念的理解比較膚淺，學生概念理解水平被具象捆綁，失去了自由生長力量。數學概念要引導學生進行多向厘析，彰顯建構之美。

例如，教學“三角形高”這個概念，就不能讓學生形成固著形態表象，必須通過各種變式（如高的方向、高的位置等）凸顯概念本質內涵。引導學生突破原有固著表象（銳角三角形中從上往下的“高”的概念等），形成 “從三角形的頂點到對邊的垂直距離”的關于“三角形的高”的本質認識。在教學中，教師可以借助幾何畫板，首先讓學生畫出銳角三角形的一條高，然后旋轉銳角三角形，讓學生認識到“高不一定是豎直方向的，也可以是水平方向的或斜著的”；接著，還是借助幾何畫板，將銳角三角形拉成直角三角形，學生就能直觀感知到另外兩條高重合到三角形的邊上；繼續拉三角形，將直角三角形拉成鈍角三角形，學生就能直觀感知到另外兩條高位于鈍角三角形的外部。動態的展現讓學生領略到數學之美，學生也能深刻認識到“三角形高”的“從頂點到對邊垂直”的本質。

概念教學要變“靜態”為“動態”。動態變式，能讓學生舍棄數學概念的非本質屬性，把握概念的本質屬性。這種動態的變化過程，不應過分“求新”，也不能盲目“求變”，而應通過動態化的過程、形式凸顯概念的本質內涵。

學生數學概念的建構是一個由淺入深、由此及彼、由表及里的逐步深化過程。在概念教學中，教師要關注學生的數學思考、探究，引導學生經歷概念的數學化過程。數學概念始于學生經驗，發展于自主建構，終結于結構理解。數學概念是實現學生思維躍遷的平臺，是發展學生學力的重要依托。