在空間與圖形領域培養學生的驗證能力

黑龍江省哈爾濱市民生路小學校數學課題組 高瑛琦 馬 晶 孫莎莎

如果說數學猜想的靈魂是創新，那么數學驗證的核心就是創造。縱觀數學發展史，一個個偉大的數學家攻克了一個個數學猜想，一次次推動著數學發展。在小學數學教學中，數學驗證與數學猜想同樣重要。顧汝佐先生說過這樣一句話：學生學習數學是掌握前人創造的經驗，通過相應的載體，讓學生自己觀察、操作、發現、實施。讓學生去發現，去探索新知，提升數學素養。數學驗證就是學生構建探究學習的過程。因此，在小學階段數學教學中，就要培養學生的驗證能力，讓學生通過驗證學習數學，在探究數學知識中培養驗證能力。小學數學教材中的空間和圖形領域是學生必須掌握的一個內容，在實際的教學中又怎樣培養學生的驗證能力呢？經過我們課題組老師的教學實踐，實踐課的老師通過自己的課堂實例來介紹在空間與圖形領域如何提高學生的驗證能力。

本學期科研課題小組馬晶老針對《如何在空間與圖形領域培養學生的驗證能力》展開了研究，在教學《平行與垂直》一課時，對這節課說說她的思考。本節課馬老師通過兩個觀測點進行了研究：1.驗證在同一個平面內兩條直線的位置關系。2.驗證兩條直線怎樣能互相垂直。在驗證兩條直線位置關系的時候，學生通過動手操作畫出了很多位置關系，比如：相交、互相平行、互相垂直，還有看上去沒交上的關系，畫的都沒有問題，但是在驗證的過程中就會摩擦出火花，學生往往會分很多類，如相交成x 型的一類，相交成T 型的一類，兩條線的端點正好碰到成角的一類（有些是看似不相交實則相交的）等。接下來驗證很重要，經過學生的思考，他們發現看似成角的一類，和沒有交到一起的直線經過延長后會變成已經存在的位置關系，這樣的驗證讓學生找出了兩條直線的位置關系：平行、相交、重合（小學階段不研究）。這些過程都是學生一點一點、一步一步發現并研究出來的。這種從發現到驗證再到得出結論的過程，更能讓孩子對新學的知識記憶猶新。在驗證第二個觀測點的時候，孩子們的思維更加活躍了，想出了不同的方法得出90 度的角，這些重大的發現孩子們是最大的受益者，我們的研究方法也得到了肯定。

高瑛琦老師在執教三年級上冊“長方形和正方形的認識”一課時，一方面注意讓學生通過實際操作獲得豐富的感性經驗，另一方面則是讓學生通過自主探索獲得對知識的理解。教學時，高老師根據學生的認知特點，在探索長方形、正方形的特征時，首先讓學生通過觀察猜想長方形和正方形的邊、角的特征，然后提供學具（每組長方形、正方形紙片各一，大小不一），讓學生自己想辦法，通過量一量、折一折、比一比等方法去驗證猜想是否正確。學生通過觀察、操作、推理、交流等活動，經歷了探索圖形特征的過程，從而積累了數學實踐經驗和思維經驗。

在練習環節，設計“猜一猜信封里裝的是一個什么形狀的四邊形？”這既是一個進一步認識圖形特征的練習，更是一個圖形表象印刻的重要時機。由此，將其設計成一個連續的活動，先出示一個直角，再出示兩個直角，最后出示第三個直角……讓學生根據“角”和“邊”的特點，從兩個維度來不斷縮小四邊形的范圍，知道最終判定結果。讓學生經歷概念內涵不斷增加、外延不斷縮小的圖形形成過程，并在每次判斷時讓學生充分地表達自己判斷的理由，在引導學生對各種四邊形特征進一步認識的同時，借助了一個從形象上升到抽象，又從抽象轉化為直觀的“猜測——驗證”過程，其數學思考價值是不言而喻的。

孫莎莎老師在教學四年級《平行四邊形和梯形》一節課時，通過一系列的操作活動，讓學生通過探究、交流、推理、驗證歸納出平行四邊形與梯形的特征，增強創新意識，進一步發展學生對“空間與圖形”的興趣，培養學生推理驗證的能力。 平行四邊形和梯形概念的建立，孫老師打破了傳統的教學模式，設計了3 個環節來幫助學生認識、理解、歸納概念。

第一，先觀察這兩種圖形有什么共同的特點，學生最先感知觀察到的是“這兩種圖形都是四邊形”；第二，學生通過觀察進一步感知到這兩組圖形都有“對邊平行”；第三，通過觀察——學生動手驗證——電腦驗證不同形狀平行四邊形和梯形，得出結論：“平行四邊形是兩組對邊分別平行”“梯形是只有一組對邊平行”。在探究活動中學生直觀地理解并歸納出平行四邊形和梯形的概念。平行四邊形和梯形概念的建立，我沒有把現成的知識灌輸給學生，而是讓學生通過觀察、發現、猜想、驗證、歸納自主建構概念，變教師單純地“教數學”為學生創造性地“學數學”。課堂上，孫老師充分體現學生的自主地位，釋放學生想象的時間和空間，將學生的感性認識上升為理性認識，從而培養了學生在空間與圖形領域的推理驗證能力。

PPT 鄭毓信教授在《新數學教育哲學》一書中的一段話，他指出：“任何一個數學學習活動都要以如何能在思想中實際建構相關的數學對象作為必要的前提”“如何能把新的知識納入主體已有的知識體系之中，并使之真正成為整個知識體系的一個有機組成部分”。

張路娜在執教《平行四邊形的面積》一課時，是以長方形面積計算為基礎，以圖形內在聯系為線索，以未知轉化為已知的基本方法開展學習。

本節課中，張老師針對以上情況設計了兩個驗證教學：1.驗證底6，高3 的平行四邊形和長6，寬3 的長方形的面積的關系。2.驗證底6，斜邊3 的平行四邊形和長6，寬3 的長方形的面積關系。以格子圖為輔助，以剪、平移等方法進行操作，進而建立平行四邊形的面積的表象及正確的概念。

課上，學生通過先猜想，再驗證，形成結論后再嘗試應用于其他特殊或一般的平行四邊形，最終形成定論。進而為后續三角形、梯形的面積計算奠定基礎。

《數學課程標準》在“課程目標”里指出，空間與圖形的數學思考目標是：“豐富對空間和圖形的認識，建立初步的空間觀念，發展形象思維。在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。”顯然，空間觀念的培養是“空間與圖形”學習的首要目標，而以此為載體，在空間與圖形領域如何培養學生的驗證能力，便成為我們課題組老師們認真思考、研究的課題。（參與撰寫教師：孫勝濤，于勇，張路娜）