高中數學函數與導數的應用

江西省永新縣禾川中學 李桂林

函數是高中數學中的一個常見名詞，在函數的問題探究中，利用導數來進行一些問題的解決是非常有效的，在近幾年當中，由于試題難度逐漸加深，函數方面的問題都比較有難度，為了能夠更好地解決函數問題，教師應當將導數問題與函數問題在教學中進行一個有效的結合，讓學生們掌握利用導數去解決函數問題這樣一種有效的方法，從而更加有效地解決函數問題。那么如何利用導數去解決函數問題呢？在實際中，學生們應當怎樣去應用呢？

一、利用導數可以更好地理解函數的性質

函數是高中數學學科當中的一個比較有難度的知識點，在高中數學教學中，函數的性質問題一直是令教師感到頭痛的一個知識點，因為這方面的內容比較復雜，學生會感覺到容易混雜，分不清楚，并且不會進行應用，因此成了教學中的一大難題，也成為學生學習中的一大阻礙。函數的性質主要涉及函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等等，這些我們其實都可以通過圖像的形式來更好地進行教學，學生也可以通過圖像的方式進行記憶。但是這只是指一些比較單一的簡單的函數，如果涉及的是非基本初等函數，比如像y=x3-2x2+x-1這樣比較復雜的函數，要想通過圖像的方式來了解它的性質就比較困難了，但是掌握了導數的概念與基本知識之后，學生便可以利用導數來進行函數性質的判斷與解決，利用求出的導數來畫出各個點的位置，然后根據各個點的位置，比如拐點、最高點、最低點等等，都可以清晰地判斷出函數的基本性質，所以說導數是判斷函數性質的一個有效方法。

二、利用導數解決函數單調性問題

函數單調性是指在一個函數中，隨著x的增大，y也增大，那么這個函數就是增函數，而如果隨著x的增大，y變小，那么這個函數就是減函數，如果具有這樣的特性，那么就說這個函數具有單調性。在證明函數單調性的過程中，我們可以使用定義來證明函數是否具有單調性，也可以利用函數的解析式來證明函數是否具有單調性，但是這些方法在操作的過程中不是太麻煩，就是會因為一些小的錯誤而導致最后的結果出現問題，因此這些證明的方法都不是很好。但是在學習完導數之后，便可以教學生用導數來進行函數單調性的證明，這樣就可以有效簡化函數單調性的問題。比如讓求解當a＞0時，函數的單調性，那么在這道題中便可以引進導數的概念。在做這道題時，首先我們應該求出這個函數解析式的導數表達式f′(x)=2(x-1)(lnx+a)，其中x＞0,然后根據導數的定義可知，當常數a大于0時，令f’(x)=0,可得x1=1，x2=e-a，此時e-a＜1,這樣就能夠很清晰地知道函數的增區間和減區間。由這個例子可以看出，通過導數來解決函數的單調性問題可以將問題簡化，傳統的解題方法是由f（x1）-f（x2）的正負來判斷函數的單調性，而利用導數這一方法可以直接由f（x）判斷出函數的單調性，從而達到高效解題的效果。

三、利用導數解決函數值域、最值問題

函數的值域與最值問題一直以來都是學生們眼中的一個大難題，也是教師教學中的一大難點，在高中數學函數教學中，值域與最值問題又是在考試中比較容易出現的一個問題，受到教育領域的重視。尤其是在近幾年來，函數的值域與最值問題一直是考試中的重點題，是學生在備考當中一定要掌握的一類題。因為值域問題與最值問題與導數的聯系比較密切，不僅能夠在函數的問題當中考查學生們的導數應用能力，更能夠通過這樣一道題來有效地考查學生們的探究能力與創新能力，因此比較容易出現。導數是處理函數值域與最值問題時的一個比較有效的方法。在求函數值域方面，求值域問題在高中數學考試中較為常見，而且這部分知識也可以說是學生在整個高中數學學習階段的重點，同時它也是教師教學的難點。在實際學習中，求函數值域的方法有很多，其中最簡便的方法就是利用導數，在解題過程中，我們可以先找到問題函數f(x)的定義域是什么，然后根據函數的定義判斷其導數f′(x)的正負，進而就可以簡單地求出函數的值域了。而在求最值方面，以題目為例：已知f(x)=x3-2x，求這個函數在[-2,]上的最值，在利用導數的相關知識做這道題目的時候，我們可以先根據前文說的利用導數求函數單調性的方法，求出函數解析式的導數f′(x)，并求取它的單調遞增、遞減區間，然后再推理該函數的最大值或最小值，通過這道題可以看到，利用導數來求解函數中的最值問題，能夠有效簡化解題的過程，不僅能夠快速計算出函數的最值，而且得出的結果還比較可靠，可以說導數是解決最值問題的一個有效方法。

總之，導數是高中數學教學中解決函數問題的一個非常有效實用的方法，教師應當幫助學生良好地掌握導數與函數的應用技巧。以上便是我提出的幾點高中數學中導數與函數的應用，希望能夠對廣大教師有所幫助。