齊次線性遞歸數(shù)列通項的矩陣解法

江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學院無錫旅游商貿(mào)分院 許震宇

如果數(shù)列{an}的第n項與它前一項或幾項的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫作這個數(shù)列的遞歸公式，用遞歸公式表示的數(shù)列叫作遞歸數(shù)列。求遞歸數(shù)列的通項公式，是數(shù)學競賽中的常見題型，常用方法多基于遞歸特征方程的特征根。

以最著名的遞歸數(shù)列為例，斐波那契(Fibonacci)數(shù)列的遞歸公式是a1=1，a2=1，an+2=an+1+an。首先從2階遞歸公式an+2=an+1+an導出2次特征方程λ2=λ+1，解得特征根其 次， 設 數(shù) 列 通 項 為an=x1λ1n+x2λ2n， 聯(lián) 立 方 程 a1=x1λ1+x2λ2=1 和，解得。最終斐波那契數(shù)列的通項公式是

一方面，由遞歸公式到特征方程，再由特征根到通項公式，解法生硬，不易掌握；另一方面，遞歸數(shù)列的特征方程如果出現(xiàn)重根，求通項公式需要特殊處理，結(jié)論受限，不利推廣。以下給出齊次線性遞歸數(shù)列通項的矩陣解法，并用行列式表示遞歸數(shù)列的通項公式。

一、k階齊次線性遞歸數(shù)列

定義1 若數(shù)列{an}的前k項a1，a2，…，ak已知，自第k+1項起每一項都是其前k項的線性組合，即an+k=c1an+k-1+c2an+k-2+…+ckan(其中n∈N+，c1，c2，…，ck是常數(shù))，則稱{an}為k階齊次線性遞歸數(shù)列。顯然，ck≠0，否則退化為（k-1）階齊次線性遞歸數(shù)列。

二、幾個結(jié)論

命 題1.1 2階 齊 次 線 性 遞 歸 數(shù) 列{an}： 已 知a1，a2，an+2=c1an+1+c2an。若{an}的特征方程λ2-c1λ-c2=0有2個不相等的特征根λ1和λ2，則{an}的通項滿足

證明 2階齊次線性遞歸數(shù)列{an}的遞歸矩陣A有2個不相等的特征根λ1和λ2。由矩陣論，A必相似于對角矩陣即存在可逆方陣P，使得P-1AP=Λ，或A=PΛP-1，使得 An-1=PΛn-1P-1，從而

上式中，分量an可由λ1n-1和 λ2n-1線性表出，可設an=x1λ1n-1+，則有所以遞歸數(shù)列{an}的通項滿足式①。

命題1.2 2階齊次線性遞歸數(shù)列{an}：已知a1，a2，an+2=c1an+1+c2an。若{an}的特征方程λ2-c1λ-c2=0有2個相等的特征根λ1，則{an}的通項滿足

證明 2階齊次線性遞歸數(shù)列{an}的遞歸矩陣A有2個相等的特征根λ1。由矩陣論，A必相似于若當(Jordan)矩陣即存在可逆方陣P，使得P-1AP=J，或A=PJP-1， 使 得 An-1=PJn-1P-1， 從 而

上式中，分量a可由λn-1和 (n-1)λn-2線性表出，可設a=xλn-1n11n11+x2(n-1)λ1n-2，則有。所以遞歸數(shù)列{an}的通項滿足式②。

命 題 2.1 3階 齊 次 線 性 遞 歸 數(shù) 列 {an}： 已 知 a1，a2，a3，an+3=c1an+2+c2an+1+c3an。若 {an}的特征方程 λ3-c1λ2-c2λ-c3=0 有 3 個單根 λ1，λ2和 λ3，則 {an}的通項滿足

證明 3階齊次線性遞歸數(shù)列{an}的遞歸矩陣A有3個互不相等的特征根λ1，λ2和λ3。由矩陣論，A必相似于對角矩陣。即存在可逆方陣P，使得P-1AP=Λ，或A=PΛP-1， 使得 An-1=PΛn-1P-1，從而

上式中，分量an可由λ1n-1，λ2n-1和 λ3n-1線性表出，可設an=，則有。所以遞歸數(shù)列{an}的通項滿足式③。

命 題 2.2 3階 齊 次 線 性 遞 歸 數(shù) 列 {an}：a1，a2，a3已 知，an+3=c1an+2+c2an+1+c3an。若 {an}的特征方程 λ3-c1λ2-c2λ-c3=0 有 1 個 2重根λ1和1個單根λ2，則{an}的通項滿足=0④。

證明 3階齊次線性遞歸數(shù)列{an}的遞歸矩陣A有1個2重根λ1和1個單根λ2。由矩陣論，A必相似于若當矩陣。即存在可逆方陣P，使得P-1AP=J，或A=PJP-1， 使 得 An-1=PJn-1P-1， 從 而

上式中，分量 an可由 λ1n-1，(n-1)λ1n-2和 λ2n-1線性表出，可設，則有。所以遞歸數(shù)列{an}的通項滿足式④。

命 題 2.3 3階 齊 次 線 性 遞 歸 數(shù) 列 {an}：a1，a2，a3已 知，an+3=c1an+2+c2an+1+c3an。若 {an}的特征方程 λ3-c1λ2-c2λ-c3=0 有 1 個3重根λ1，則{an}的通項滿足=0⑤。

證明 3階齊次線性遞歸數(shù)列{an}的遞歸矩陣A有1個3重根λ1。由矩陣論，A必相似于若當矩陣即存在可逆方陣P，使得P-1AP=J，或A=PJP-1，使得An-1=PJn-1P-1，從而

上式中，分量an可由λ1n-1，(n-1)λ1n-2和(n-1)(n-2)λ1n-3/2線性表出，可設 an=x1λ1n-1+x2(n-1)λ1n-2+x3(n-1)(n-2)λ1n-3/2，則有。所以遞歸數(shù)列{an}的通項滿足式⑤。

推論1 1階齊次線性遞歸數(shù)列{an}：a1已知，an+1=c1an，則{an}的通項滿足，即an=a1c1n-1。

推論2 k階齊次線性遞歸數(shù)列{an}：a1，a2，…，ak已知，an+k=c1an+k-1+c2an+k-2+…+ckan。首先構(gòu)造（k+1）維列向量a2，a3，…，ar，…，ak，an）’。其次對于單重特征根λi，構(gòu)造1個（k+1）維列向量； 對于 r 重特征根λj，構(gòu)造r個k+1維列向量’。最終構(gòu)造（k+1）階行列式，即為{an}通項的行列式表示。

三、應用舉例

例1 設遞歸數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=3，an+2=2an+1-2an，求{an}的通項公式。

解：數(shù)列{an}的遞歸矩陣，特征方程 λ2-2λ+2=0，解得特征根λ1=1+i，λ2=1-i。根據(jù)命題1.1，數(shù)列{an}的通項滿足式①：。展開行列式，得數(shù)列{an}的通項公式是an=(1/2i)×[(2+i)(1+i)n-1+(-2+i)(1-i)n-1]。

例2 設遞歸數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=6an+1-9an，求{an}的通項公式。

解：數(shù)列{an}的遞歸矩陣特征方程 λ2-6λ+9=0，解得2重特征根λ1=3。根據(jù)命題1.2，數(shù)列{an}的通項滿足式②：。展開行列式，得數(shù)列{an}的通項公式是an=(4-n)×3n-2。

例3 設遞歸數(shù)列{an}滿足a1=a2=a3=1，an+3=6an+2-12an+1+8an，求{an}的通項公式。

解：數(shù)列{an}遞歸矩陣，特征方程 λ3-6λ2+12λ-8=0，解得3重根λ1=2。由命題2.3，{an}通項滿足式⑤：。展開行列式，得數(shù)列{an}的通項公式是an=(n2-7n+14)×2n-4。