數學運算素養的分析及培養策略
——由一道試題學生求解的現象剖析

陜西省禮泉第一中學 陳銀會

普通高中數學課程標準（2017年版）》規定的課程目標中指出：“在學習數學和應用數學的過程中，學生能發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養。”數學運算素養是數學六大核心素養之一。那么到底什么是數學運算素養？如何通過教學對學生的運算素養進行培養？下面，筆者以在課堂教學中學生對一道試題求解現象進行分析，談談自己對培養學生數學運算素養的一些認識。

一、數學運算素養的分析

1.數學運算素養的內涵

數學運算是在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探求運算方向、選擇運算方法，設計運算程序、求得運算結果六大步驟。

2.通過課堂上學生對一道試題求解現象的剖析，分析數學運算素養

現象1：部分學生對已知條件不知如何入手。教師啟發問：“sinα，cosα，tanα”之間有什么關系？學生回答不上來。

剖析：這類現象是因為學生在數學運算素養的第一個步驟——理解運算對象中出現問題導致不會解。學生關于sinα，cosα，tanα的基本知識點：平方關系：sin2α+cos2α=1，商數關系：不具備，沒有理解其運算的對象，所以解題無從下手。

現象2：部分學生在練習本中寫出“sin2α+cos2α=1”，然后不知所向。

剖析：這類現象是因為學生在數學運算素養的第三個步驟——探求運算方向出現問題導致不會解。因為學生不具備方程思想，沒有意識到由已知等式與平方關系sin2α+cos2α=1聯立,可得關于sinα，cosα的二元方程組，由得出 tanα=2。

現象3：部分學生想到對原式兩邊進行平方，得到cos2α+4cosα sinα+4sin2α=5，然后不知所向。

剖析：這類現象是因為學生在數學運算素養的第四個步驟——選擇運算方法出現問題導致不會解。這類學生欠缺的是基本問題的解題方法或者可能是對基本模式識別有誤。這個基本問題就是三角求值中關于sinα，cosα“齊次式”的求值問題。通過利用平方關系把原式變形為，然后分子、分母同時除以cos2α 可得，解此方程可得tanα=2。

二、數學運算素養培養的策略

由以上現象分析，筆者認為落實數學運算素養的培養要遵循數學運算素養發展的基本規律：知識、思想、能力、發展和完善。

1.建構完善系統的高中數學知識體系

解題研究的一代宗師波利亞說過：“貨源充足和組織良好時的知識倉庫是一個解題者的重要資本。”數學知識是形成數學能力的基礎，章建躍博士說：“無知者無能”，所以離開數學知識的學習來培養數學運算能力是紙上談兵。

對學生而言，系統的數學知識、數學能力主要來自課堂教學。教師在教學中應幫助學生準確理解數學概念、定義、公式、定理和運算法則。注重體現基本概念的來龍去脈，不僅要掌握公式、定理和運算法則，還要知道其發現、推導的過程，因為在知識產生的過程中，所蘊含的數學思想方法同樣重要，過程和結果并重。一些數學概念的理解往往一兩節課根本達不到，因為對事物本質的認識需要在事物的關系中逐步加深認識，數學知識的理解、鞏固、拓廣、加深，往往要依賴知識的積累，逐步建立起數學的知識結構。

2.以數學思想方法促進運算技能向能力的轉化

數學思想是對數學對象的本質認識，是認識具體數學概念、命題、規律、方法等的過程中提煉概括的基本觀點和根本想法，是數學活動的指導思想。數學方法是指在數學活動中所采用的途徑、方式、手段、策略等，是由思想轉化而來的具體操作方法。數學思想是能力的核心，只有思想才能把知識轉化為能力。高中階段常用的數學思想方法有：函數與方程、數形結合，轉化與化歸，統計與概率，特殊與一般，分類與整合思想等。數學思想在中學數學運算中具體表現是這樣一些方法：配方法、換元法、待定系數法、類比法、錯位相消法、轉化法、設而不求法、整體代換法、估算法、速算法等。這些方法的巧妙應用顯示著良好的運算能力。

我們在教學中，不僅要給學生基本知識點，還應積極提煉滲透學科思想。

3.運算能力在多種能力協調發展、相互促進中得到提升

運算求解能力是思維能力和運算技能的結合，運算包括對數值的計算與近似計算，對數學表達式的變形，對幾何圖形相關幾何量的計算求解等，運算求解能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力。數學計算是數學課堂活動上一項重要的數學活動，思維的創造性和應用數學的能力都可從中得到培養。

4.培養學生良好的個性品質，促進運算素養的形成

有良好個性心理特征（認真、勤勉、堅強等）的學生，其運算能力強，有個性傾向性（興趣、需要等）也影響著學生運算能力的發展。教育心理學表明,當教學能引起學生的興趣時,就可使學生在學習時集中注意,更好地感知、記憶、思維和想象。學習興趣越大，學習態度越端正，學習目標越明確，那么，學習的效果越好，成績越高，數學運算能力必然越來越好。

我們在教學中要關注數學運算過程中影響學生的各種心理因素,培養他們穩定、健全的心理品質。