在“夾縫”中求解的一類不等式問題

南京航空航天大學附屬高級中學 唐 舉

引例已知數列{an}是公差不為零的等差數列，{bn}是等比數列，且a2=b2=1，a3-1=b3，a4-1=b4.

（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；

（2）記cn=an·bn，求數列{cn}的前n項和Sn；

上題是最近的一次期末考試題，題中條件先給出“已知不等式恰有3解”，因為問題新穎，學生審題后不知如何入手，得分極低.此處如果把“3解”改為“無數解”或者“有解”，它便變成了同學們熟悉的恒成立或者存在性成立問題，問題也就轉化為求最值問題，那么本題解法是否和兩類常規問題解法有相通之處呢？具體該如何求解呢？先來看下面的兩道題.

例1若關于x的不等式x2-x-a≤0的解集中的正整數有且只有3個，則實數a的取值范圍是 .

分析可以先分離參數a，得到a ≥x2-x，轉化成直線y=a與拋物線f（x）=x2-x 的圖象位置問題，再由已知條件知道3個正整數解是x=1，2，3，即可限定直線y=a在直線y=f（3）和直線y=f（4）之間，兩條水平線之間可被形象地看作為夾縫，另外要注意到可穿過下端點，不能穿過上端點.

解析由不等式x2-x-a ≤0得，a≥x2-x.設f（x）=x2-x，因為對稱軸為時，f（x）單調遞增，所以3個正整數解是x=1，2，3，得f（3）≤a＜f（4），即6≤a＜12.

例2在數列{an}中，a1+2a2+22a3+…+2n-1an=（n·2n-2n+1）t對任意n∈N*成立，其中常數t＞0.若關于n的不等式的解集為{n|n≥4，n∈N*}，則實數m 的取值范圍是__________.

分析本題前面部分為數列知識，求解的分析過程省略，當不等式化簡為m 后，如分析時感覺困難，可把問題轉化為的解集為{1，2，3}，這樣問題就和例1完全相同了，解法也同例1.如果思路比較清晰，可以從原不等式入手，此時尤其要注意“解集為{n|n≥4，n∈N*}”的言外之意，即n=3不滿足不等式，所以m 的范圍被3和4對應的函數值同時限制.

解析因為a1+2a2+22a3+…+2n-1an=（n·2n-2n+1）t①，所以a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=[（n-1）·2n-1-2n-1+1]t②，①-②得an=nt（n≥2），經檢驗n=1時該式成立，所以不等式轉化為所以所以因為原不等式的解集為{n|n≥4，n∈N*}，所以同時有n=1，2，3時不滿足不等式，又因為隨著n 的增大而增大，所以f（3）≤m ＜f（4），解得

看完以上兩個例子后，你對文章開頭的那道題目是不是有了解決的方法了呢？下面我們一起來分析引例.

本題作為解答題最后一題，第3問得分非常低，從條件形式上看，不等式很復雜，化繁為簡的過程就很繁瑣，尤其是不熟悉“恰有3個解”這種條件時，化簡時更沒有方向.因為最終目標是把m 和n分離開，所以在代入an和bn的通項式后，可先消去左邊不等式分子分母里的系數2，再對左右兩邊同時分離常數，當化簡到時，不需要像前面兩題一樣分離出單個參量m，只要分離出含有m 的不等式，考慮到只有n=1時，2n-3＜0，所以先討論n=1，得該不等式顯然成立，再討論n≥2時，不等式轉化為對右邊構造函數Tn，由作差法得右式的單調性，同時得出Tn為最小的3個數時n的取值，接下來就能用通法來找到應該放置的“夾縫”了.具體解析如下：

解析（1）an=2n-3，bn=2n-2；

（2）略；

總結例1問題情境簡單清晰，解法過程直指目標方法；例2題目條件形式看似與例1不同，若用“正難則反”方法，原問題可轉化為不等式方向反向后解集有3個元素的問題，這與例1條件完全相同，方法自不必再說；引例是一道綜合題，需順利求解得到前2問的正確答案，再代入第3問的不等式，如對找“夾縫”的方法已經比較熟悉，則在化簡的過程中自然會依次想到消系數、分離常數和分離參數的方法，但是分離參數時容易機械地認為要分離出單個參量m，這就增加了難度，相當于是一個誤區，正確方法是只要分離出關于參量m 的整體表達式即可，然后按照通法找準“夾縫”的兩條邊界線就能得到m 的整體表達式的范圍，進而求出參量m 的具體范圍.