“多元”需要“多維”度

江蘇省懷仁中學 王志英

眾所周知，數學學習離不開解題，但若每天只進行簡單粗暴的題海訓練，短期內成績可能會得到顯著提高，從長期來看，同學們的思維并未得到有效拓展，所以大家不能只做題不思考，只訓練不總結，同學們要學會在學習中捕捉機會，依托典型例題把自己所學的知識運用得更廣泛.同學們可能會有這樣的經歷，碰到好題會魂牽夢繞，我們感嘆它多維的解題方法，更感嘆出題者的絕佳設計.同學們是否想過，解題之后稍加反思深究，你甚至可以成為一個編題高手.

【例題】已知正實數x，y滿足則xy______.

分析本題是無錫市2016年秋學期高三期中測試第14題，當時的得分率較低，主要原因是無法找到此題的切入口.該題的已知條件是一個二元方程，且含有一次結構和對數結構，較為復雜.從表面看此題是一個不定方程，但從求解的結果和結構看，結論一定是有限解，即x，y的值是可以求出來的.如何求出此方程的解，顯然從方程的角度尋求突破口已行不通，那不妨重新整合，從其他視角嘗試解決.

思路1：不等式的角度

同學們仔細觀察一下，等式的右邊實質是lnxy，等式的左邊也可產生xy的整體結構，但必須引入基本不等式，而x，y是正實數為基本不等式的引入提供了很好的前提.即（當時取等號），則令xy=t（t＞0），得此處換元的目的是為了消元，使得較難的二元方程變成了一元不等式.由于此不等式并不是大家所熟悉的形式，只能通過函數來求解此不等式.

方法1：設f（t）=lnt-于是則當t∈（0，1）時，f′（t）＞0，當t∈（1，+∞）時，f′（t）＜0，所以函數f（t）在區間（0，1_）上遞增，在區間（1，+∞）上遞減，且f（1）=0，所以則解到這兒，同學們有沒有恍然大悟了，不等式竟然只有唯一解，即方程的解t=1.于是由得則

思路2：函數的角度

同學們知道方程與函數是緊緊相隨的，但二元方程又如何與函數溝通？這是此題的難點.自然的想法是對x，y歸類，引入兩個函數.原式可整理為

方法2：令g（x）=-lnx-2，h（y）=lny-2y.仔細觀察，這兩個函數由基本初等函數組合而成，求導之后，結構也較為簡單，所以兩函數的圖象很簡潔.求導后發現，函數g（x）在區間（0，2）上遞減，在區間（2，+∞）上遞增，且g（2）=-ln2-1，函數h（y）在區間上遞增，在區間上遞減，且所以方程lny-2y的解為x=2，

方法3：以上兩種方法，體現了函數、方程、不等式的相互轉換思想，在平時的解題中，同學們經常會遇到此類題型，但此題的難點是方程含有兩個元，對構建函數或不等式帶來了一定的挑戰.再次觀察這個方程，發現原式還可變形為看到此式，有沒有一種興奮感，好像離目標不遠了.此式再次微調，結構將更為漂亮：-（2y-ln2y-1），構建的函數也已浮出水面：l（t）=t-lnt-1，通過求導容易發現函數l（t）在區間（0，1）上遞減，在區間（1，+∞）上遞增，且l（1）=0.于是-（2y-ln2y-1）≤0，則方程中原方程得解.

反思 重新審視上面三種方法，發現最后都是通過構建函數完成此題.可能通過整體代換構建一個函數，可能通過集中變元構建兩個函數.若是一個函數，則函數具有兩個單調區間，而且函數零點唯一；若是兩個函數，同樣非常巧妙，一個函數只有極小值，無極大值，一個函數只有極大值，無極小值，且極值相等.由此，我們就可以仿照此題選取簡單的基本初等函數編制題目了.

【變式】已知實數x，y滿足x+y+4=ex+ey+2，則x+y=____.（答案為-2）

思路1：不等式的角度

方法1：利用基本不等式可得于是令u=x+y+2，則再令

思路2：函數的角度

方法2：令g（x）=x-ex+4，h（y）=ey+2-y.

方法3：原方程可變形為x-ex+1=-（y+2-ey+2+1），令l（t）=t-et+1.

提示到這兒，相信同學們完全有能力得出最后的答案.

反思 每個題目的背后都凝聚著出題者的智慧，當然編題并不是一件很容易的事情，但如果經常能對做過的好題反復推敲，同學們的思維就會越來越開闊，越來越靈動，從而獲得受益終生的學習力.