荷載作用下多孔飽和地基的熱-水-力耦合動力響應分析

熊春寶， 郭 穎， 刁 鈺， 李 志

（天津大學 建筑工程學院，天津300072）

1 引 言

在巖土工程穩定性問題中，巖土中水的滲流作用不容忽視，多孔飽和地基中溫度的變化會產生熱傳導和熱擴散現象，從而導致多孔飽和土體的物理力學性質發生變化。因此，針對多孔飽和地基的熱-水-力多場耦合問題的研究具有非常重要的意義和作用。

Biot［1］提出的經典熱彈性理論認為熱在介質中以無限大的速度傳播，這與事實不符。為了消除這一悖論，Lord等［2］提出了（L-S）廣義熱彈性理論，Green等［3－6］提出了（G-L）廣義熱彈性理論和（G-N）廣義熱彈性理論。這幾種理論都能很好地描述熱在介質中以有限的速度進行傳播，且在很多工程領域都有很好的應用，如土木工程、水利工程、資源與能源工程及環境工程等領域，國內外學者針對此類問題進行了一系列研究［7－11］。這些研究大多并未考慮介質中的孔隙以及孔隙水的作用，然而實際工程中大多介質并非完全密實。近年，國內外學者對多孔飽和材料進行了大量研究。張洪武等［12］提出了廣義耦合多尺度有限元法，很好地分析了非均質飽和多孔介質彈塑性動力問題。閻軍等［13］在給定外力與溫度載荷作用下，對由宏觀上多孔材料制成的結構進行了優化，并分析討論了各物理量變化對優化結果的影響。Bai［14］研究了指數函數荷載作用下雙層多孔介質的熱彈動態響應問題，并解決了一維多孔飽和材料的熱固結問題［15］。Bai等［16］研究了一個多孔飽和長圓柱受到熱荷載和靜水壓力作用的熱流固耦合問題。文獻［17，18］采用拉普拉斯變換及其數值反變換研究了飽和多孔圓柱和中空圓柱在外力和溫度作用下的耦合問題。劉干斌等［19］采用傅里葉變換及其數值反變換研究了飽和多孔地基的熱-水-力耦合問題。盧正等［20］進一步結合熱源輸入條件和地基邊界條件，對飽和多孔地基進行了研究。Lu等［21］研究了多孔彈性地基受到沖擊荷載和溫度荷載作用的熱流固耦合問題。Liu等［22，23］提出了一種新的方法，研究了一維的多孔彈性圓柱和空腔球殼受到熱沖擊和機械沖擊時的熱流固耦合問題。Bai等［24］研究了一個多孔飽和空腔球殼的不可逆固結問題。目前，學者們主要采用傅里葉變換及其反變換或拉普拉斯變換及其反變換，在時頻域內對此類問題進行研究，為得到方程的時域解，這兩種方法均需對方程進行兩次變換。本文利用正則模態法，能夠直接對方程進行解耦得到解析解，計算過程簡便快速。

本文基于L-S理論，結合達西定律，研究了多孔飽和地基在荷載作用下的熱-水-力多場耦合動態響應問題。假設該多孔飽和地基為均質各向同性半無限大介質。采用正則模態法求解，得到了問題的解析解，討論了熱-水-力耦合模型和熱彈性耦合模型的區別，分析了荷載頻率變化對地基中各物理量的影響。最終，給出了無量綱的豎向位移、超孔隙水壓力、豎向應力和溫度等物理量的分布規律。結果可以廣泛應用于巖土工程領域，特別對高速鐵路、高速公路和能源基礎等領域具有指導性的意義。

2 基本方程

考慮多孔飽和地基為流固耦合的兩相介質，假設該多孔飽和地基為均質各向同性半無限大體。當地基的流相和固相處于熱平衡時，地基的變形為小變形。不計體力時，考慮溫度效應的多孔地基的運動方程為

式中λ和G為拉梅常數，ui為位移分量，p為超孔隙水壓力，θ＝T－T0，T為絕對溫度，T0為參考溫度，β1＝（3λ＋2G）αs，αs為土顆粒的線性熱膨脹系數，ρ為質量密度。

考慮廣義熱松弛時間的能量方程為

式中 m＝n0ρwcw＋ （1 － n0）ρscs，n0為孔隙率，ρs為土顆粒的密度，ρw為孔隙水的密度，cs為土顆粒的比熱，cw為孔隙水的比熱，K為熱傳導系數，τ為熱松弛時間。

根據達西定律，流體的平衡方程可簡化為

式中 b＝ρwg／kk，kd為滲透系數，g為重力，αu＝n0αw＋（1－n0）αs，αw為孔隙水的線性熱膨脹系數。

根據L-S［2］廣義熱彈性模型，不考慮體力和內熱源時，多孔彈性地基的本構方程為

式中σij為應力分量，εij為應變分量。

多孔彈性地基的幾何方程為

位移分量可以寫為

根據方程（5，6），應變分量可寫為

式中 土體的體積應變可寫為

為簡便起見，引入無量綱量

利用無量綱式（9），控制方程可簡化為（為方便省掉各個變量上方的符號）

將方程（10）關于x求微分，方程（11）關于z求微分，相加可以得到

求解方程（16），就可以求得地基在受到荷載作用時的豎向位移、超孔隙水壓力、豎向應力和溫度的變化規律。這些量的求解要借助于問題的邊界條件，問題邊界條件如下。

（1）地基表面考慮溫度作用，因此有θ（x，0，t）＝Ψ（x，t）。

（2）地基邊界處受到荷載作用，剪力自由，因此有σxz（x，0，t）＝0，σzz（x，0，t）＝－qΨ（x，t）式中q為荷載大小。

（3）地基上表面土體可以透水，因此有p（x，0，t）＝0。

對于方程的求解，采用第3節的正則模態法。

3 正則模態分析

根據正則模態分析，考慮物理量的解可分解為［u，w，e，σij，p］（x，z，t）＝［u＊（z），w＊（z），e＊（z），

式中ω為頻率，i為虛數單位，a為x方向的波數。在方程（10～13）中消去θ＊（z）和P＊（z），可得關于e＊（z）的四階偏微分方程，其中D＝ ／ z，則

式中A＝2a2＋b1，B＝a4＋b1a2＋b2

方程（18）可分解為

方程（18）的解為

在z→∞時，方程（19）的有界解為

與e＊（z）求解同樣的過程，類似地可以得到

式中 Ri（a，ω），R′i（a，ω）和R″i（a，ω）均是關于a和ω的參數。可得到以下關系，

其中令

式（23）可寫成

根據式（17），由方程（6，8，22，25）可得到位移u和w的表達式為

式中 F＝F（a，ω）為關于a和ω的參數，n2＝a2＋β2ω2。

利用式（16），將方程（22，25，26，27）代入方程（14，15），得到

為了確定待定參數Ri（i＝1，2）和F，需要考慮問題的邊界條件（z＝0）。將所考慮物理量的表達式代入上述邊界條件，可以得到待定參數滿足的代數方程為

式中 Ψ（x，t）為荷載沿x軸方向的分布函數。設作用在多孔飽和地基上的荷載具有形式Ψ（x，t）＝Ψ＊（a，ω）exp（ωt＋iax）。求解方程 （30～33），可以得到參數Ri（i＝1，2）和F的表達式。上述方程組的求解可以借助于Maple軟件包，由于求解得到的待定參數的表達式過于繁復，在此未列出。

4 算例及結果討論

研究多孔飽和地基在受到荷載作用下的熱-水-力耦合動態響應問題。假設地基為均質各向同性半無限大體，選擇均質各向同性多孔飽和土體進行數值計算，其材料常數如下。

由于ω＝ω0＋iζ，其中i為虛數單位，則eωt＝eω0t（cosζt＋isinζt），當所考慮時間很小時，可取ω＝ω0。

為了驗證熱-水-力模型THMD和熱彈性模型TMD計算結果的差異，令孔隙水密度ρw和孔隙率n0均為0，即不考慮滲流的作用，這時熱-水-力模型THMD退化為熱彈性模型TMD。在熱彈性模型TMD中，土體的密度取ρ＝1.96×103kg／m3，比熱取c＝2080J／（kg C），其他的參數與上述一致。

在數值計算中，考慮兩種方案，方案一（圖1～圖4），基于兩種不同的模型（THMD和TMD），首先保證時間t＝0.5不變，分別取荷載頻率ω＝1.6和ω＝2.5，計算在x＝1.0平面處無量綱的豎向位移、超孔隙水壓力、豎向應力和溫度。方案二（圖5～圖8），在THMD模型中，同樣保持時間t＝0.5不變，分別考慮四個不同頻率 （ω＝1.6，ω＝1.8，ω＝2.1和ω＝2.5），計算在x＝1.0平面處無量綱的豎向位移、超孔隙水壓力、豎向應力和溫度。

圖1 兩種模型下豎向位移分布圖Fig.1 Vertical displacement under two methods

圖3 兩種模型下豎向應力分布圖Fig.3 Vertical stress under two methods

圖1 描述了基于兩種不同模型的無量綱豎向位移的變化規律，可以看出，在頻率相同時，TMD模型的豎向位移略高于THMD模型，這是由耦合的超孔隙水壓力對豎向位移的影響造成的。圖2描述了無量綱的超孔隙水壓力的變化規律，可以看出，TMD模型中超孔隙水壓力一直為0，而變化曲線均是基于THMD模型時頻率變化的規律圖，這是由于在TMD模型中，沒有考慮超孔隙水壓力的影響，所以在該模型中無論荷載頻率如何變化，超孔隙水壓力都一直為0。這也說明了只用TMD模型不能清晰地描述飽和多孔地基，同時也證明了THMD模型的重要性。此處正負號只表示地基受壓或受拉，與大小無關，本文的分析過程中，均以拉應力為正，壓應力為負。圖3反應了無量綱豎向應力的變化規律，可以看出，THMD模型的豎向應力略高于TMD模型，這與耦合的超孔隙水壓力有關。如圖4所示，荷載的頻率對THMD模型和TMD模型下的溫度分布規律有較大的影響；同時可以看出，在不同的理論模型條件下，θ／q值都很小，為10－9數量級。

如圖5和圖7所示，隨著荷載頻率的增加，無量綱豎向位移和豎向應力沿著z軸的衰減速度逐漸增大。此處與方案一相同，正負號只表示地基受壓或受拉，與大小無關。如圖6和圖8所示，在THMD模型中，荷載頻率對無量綱的超孔隙水壓力和溫度分布有明顯影響。從圖6可以看出，無量綱的超孔隙水壓力在z＝0處為0，這是由于假設上表面邊界處土體透水。

圖2 兩種模型下超孔隙水壓力分布圖Fig.2 Excess pore water pressure under two methods

圖4 兩種模型下溫度分布圖Fig.4 Temperature distribution under two methods

圖5 THMD模型下豎向位移分布圖Fig.5 Vertical displacement under THMD method

圖7 THMD模型下豎向應力分布圖Fig.7 Vertical stress under THMD method

5 結 論

研究了多孔飽和地基在荷載作用下的熱-水-力多場耦合動態響應問題。假設該多孔飽和地基為均質各向同性半無限大體，采用正則模態法求解，得到了問題的解析解，討論了熱-水-力耦合模型和熱彈性耦合模型的區別，分析了荷載頻率變化對地基中各物理量的影響。主要結論如下。

（1）正則模態法能夠很好地解決半無限大多孔飽和地基的熱-水-力耦合問題，最終得到了各物理量的變化規律圖。

（2）在給定時刻，熱的擾動區域是有限的。

（3）通過TMD模型和THMD模型的對比，發現孔隙水對地基的影響非常明顯，這對以后的施工具有指導性意義。

（4）荷載的頻率對地基中各物理量的變化有很大的影響。

圖6 THMD模型下超孔隙水壓力分布圖Fig.6 Excess pore water pressure under THMD method

圖8 THMD模型下溫度分布圖Fig.8 Temperature distribution under THMD method

附 錄

符號說明

λ，G拉梅常數 ui位移分量

σij應力分量 ρ質量密度

εij應變分量 T絕對溫度

T0參考溫度 K熱傳導系數

τ熱松弛時間

αs土顆粒的線性熱膨脹系數

αw孔隙水的線性熱膨脹系數

p超孔隙水壓力 n0孔隙率

ρs土顆粒的密度

ρw孔隙水的密度

cs土顆粒的比熱

cw孔隙水的比熱 g重力

kd滲透系數 q荷載大小