外嚙合齒輪泵隨機內泄漏模型的研究

陳 科， 錢林峰， 於孝朋， 鄭紅梅， 方 旭

（合肥工業大學 機械工程學院，合肥230009）

1 引 言

齒輪泵具有結構簡單、制造方便、抗污染能力強和自吸性能好等優點，在機床行業、航空工業及工程機械中應用十分廣泛［1］。但長期以來，嚴重的高壓泄漏問題使得中高壓和高壓齒輪泵難以得到廣泛應用。國內外學者對齒輪泵的流量模型進行了大量研究。D pper等［2］設計出運用在精密儀器上的微型齒輪泵，可以定量輸送粘性油液。Manring等［3］建立了異齒數外嚙合齒輪泵的流量脈動模型，并為齒輪泵的小型化和降低流量脈動提供思路。Huang等［4］推導出精確的流量公式，并研究了外嚙合直齒輪泵的流量特性。甘學輝等［5］對齒輪泵的性能進行了較詳細的研究，推導出了齒輪泵的流量脈動表達式，并為降低齒輪泵流量脈動提出改善建議；同時推導出了齒輪泵的軸向及徑向泄漏的計算表達式。羅驥等［6］對內嚙合齒輪泵進行研究，建立了內嚙合齒輪泵內泄漏模型，并進行了實驗驗證。趙虹輝［7］重點研究了微型外嚙合齒輪泵的公差參數對流量的影響，綜合運用了正交試驗、計算機仿真以及遺傳算法，對齒輪參數公差進行優化設計，并給出了較優的齒輪參數的加工公差，這對提高企業生產合格率具有重要指導意義。

上述關于齒輪泵的研究都是將參量作為確定值。但在齒輪泵生產制造過程中和實際工作時，由于齒輪泵設計、裝配公差和軸套的浮動導致其軸向間隙和徑向間隙不是確定值，液壓油溫度、工作壓力和輸入轉速這些外部因素也不是確定值。齒輪泵的傳統研究屬于理想狀態下的研究，得出的結論與工程實際有一定差距。采用隨機不確定性理論建立的齒輪泵隨機內泄漏模型可以更加接近工程實際。不確定性理論已經廣泛運用于工程實際，但在齒輪泵領域的運用并不多見［8，9］。本文將運用隨機不確定理論研究齒輪泵內泄漏模型。將齒輪泵輸送液壓油的過程視為隨機過程，將齒輪泵的軸向間隙尺寸、徑向間隙尺寸、液壓油溫度、工作壓力和輸入轉速作為隨機變量，運用隨機因子法和代數綜合法建立齒輪泵隨機內泄漏模型，進而獲得在不確定性下齒輪泵的容積效率。

2 齒輪泵隨機內泄漏模型的建立

齒輪泵的容積損失主要由以下四個部分組成［10］：

（1）軸向間隙泄漏Δqs

齒輪泵軸向間隙的油液泄漏是二元縫隙流動［13］。其泄漏流量由文獻［13］可得

式中

式中θh為高壓腔包角，2θb為過渡區包角，s為軸向間隙，Δp為齒輪泵進出口壓強差，Rz為齒輪軸半徑，Ri為齒根圓半徑，ρ為液壓油密度，ω為齒輪角速度，μ為油液的動力粘度。

液壓油的粘度μ隨溫度和壓強的變化關系式為［11］

式中ρ為液壓油密度，γ50為油液在50℃、1個大氣壓時的運動粘度，α為油液的粘壓系數，λ為油液的粘溫系數。

（2）徑向間隙泄漏Δqδ

由于齒頂與殼體的徑向間隙很小，這里油液的泄漏可看成層流流動。因此可采用兩平行平板間隙流動理論來計算齒頂與殼體的泄漏［11］。

式中 B為齒寬，Δp為高低壓腔壓差，Se為齒頂厚，δ為齒頂與殼體的徑向間隙，Z0為過渡區齒數，Ra為齒頂圓半徑，n為齒輪轉速。

（3）齒面嚙合處泄漏Δqn

在齒輪傳動過程中，有一部分油液從齒面接觸處泄漏。一般泄漏量不大，約占總泄漏量的5%［14］。本文取Δqn＝5%。

（4）液體壓縮時的彈性損失Δqe

齒輪泵在工作過程中，油液隨齒槽從低壓腔旋轉到高壓腔，油液在高壓下會有彈性損失。低壓齒輪泵一般可忽略不計，但對于高壓齒輪泵，這部分損失不可忽視，由文獻［11］可得

式中Eo為液體體積的彈性模量，Δp為高低壓腔壓差，Vj為齒間容積，Z為齒輪齒數，n為齒輪泵轉速。

液壓油體積彈性模量Eo模型為［11］

式中 A＝－6.076×10－19，B1＝6.034×10－10，C＝8.829×10－5，p為油壓。

綜上，齒輪泵的內泄漏模型Δq為

則齒輪泵的容積效率hv為

式中qt＝nqv／1000為理論流量qv為齒輪泵理論排量。

以上屬于齒輪泵傳統內泄漏模型，即把各參量視為確定量。但在工程實際中，各參量并不是確定值。所以，現將不確定性理論引入齒輪泵傳統內泄漏模型中進行研究。

隨機因子法指將函數表達式中隨機參量表示為確定量與隨機因子乘積形式［15］。隨機因子的期望為1，變異系數為均方差除以期望值，即i＝σ／E。

現將齒輪泵的軸向間隙s、徑向間隙δ、液壓油溫度t、工作壓力p和輸入轉速n這些參量作為隨機變量。由于以上變量產生的環境和機理不同，為了便于簡化運算，各變量間可近似看作不相關［15］。運用隨機因子法表達如下：

式中 上標－為未考慮隨機不確定性時的量，上標～為隨機因子，后面公式類似。

以上5個參量的期望和均方差為

代數綜合法基本思想為，先將函數表達式中已知期望和均方差兩個變量的數字特征運算結果作為新變量的期望和均方差，新變量與第三變量的數字特征運算結果做為又一個新變量的期望和均方差，以此類推，直至所有變量綜合為一個變量，其期望和均方差就是函數的數字特征［16］。

根據隨機因子法和代數綜合法對齒輪泵傳統內泄漏模型進行運算，可獲得齒輪泵隨機內泄漏模型。

令M1＝t－t0，則

令M2＝eλM1，對M2進行二階泰勒展開求期望，一階泰勒展開求均方差：

令M3＝p－p0，則

令M4＝eαM1×10－5，對M4進行二階泰勒展開求期望，一階泰勒展開求均方差：

液壓油動力粘度μ的期望和均方差的求解：μ＝ργ50M4／M2

令E（Y1）＝E（）＝E（）3＋3E（）σ2（s）

令 M5＝（θh＋θb）s3／［12μln（Ri／Rz）］

令 Δqj1＝

令E（Y3）＝E（）＝E（）3＋3E（）σ2（）

由ω＝ （π／30）n可得

Δqj2＝M6ω3，則Δqj2的期望與方差為

由Δqs＝40000×（Δqj1＋Δqj2）可得端面間隙的總泄漏量Δqs的期望和均方差為

齒輪泵徑向間隙泄漏Δqδ的期望和均方差推導過程如下，

令N1＝，則有

液體壓縮時彈性損失Δqe的期望和均方差推導過程如下：

令L1＝105（1＋10－5p）＝105＋p，則有

令L2＝Ap2＋B1p＋C，L3＝Ap2令Eo＝L1／L2，則

令L4＝2pVjZ n，則

由Δqe＝1000×L4／Eo可得Δqe的期望和均方差為

綜上，齒輪泵隨機內泄漏模型為

進而獲得在不確定性下齒輪泵的容積效率為

3 數值算例

3.1 數值計算參數

運用上文傳統內泄漏模型和隨機內泄漏模型分別對文獻［11］的齒輪泵CBZb2050進行數值計算。

液壓油 YB-N46參量數值為α＝1／432，λ＝1／23.4，!50＝27.51cst，ρ＝900kg／m3，t＝50℃。

齒輪泵CBZb2050的參量數值為

3.2 數值計算結果

文獻［12］通過實驗獲得CBZb2050泵在額定工況下的容積效率，現對傳統模型進行數值計算，其結果列入表1和表2。由表1和表2可知，CBZb2050齒輪泵在額定轉速n＝2250r／min、額定壓力P＝25MPa時，實驗測得容積效率為95.1%，由齒輪泵傳統內泄漏模型計算得到容積效率為96.7%。為了與這些結果進行比較，按第2節建立的隨機內泄漏模型對容積效率進行數值計算，通過編制MATLAB程序求解容積效率的數字特征。

軸向間隙、徑向間隙、液壓油溫度、工作壓力和輸入轉速表達為含隨機因子的形式，其變異系數與隨機因子變異系數相同。

選取變異系數范圍為0.01～0.4。在額定工況（n＝2250r／min，P＝25MPa），齒輪泵在不同變異系數下的容積效率期望E（hv）、均方差σ（hv）及變異系數ihv列入表3。變異系數ihv用來表征容積效率的分散性大小。由表3可以看出，

（1）由齒輪泵隨機內泄漏模型獲得容積效率的期望為93.0%～96.7%，與文獻［12］獲得的容積效率95.1%相比差異不大，表明所建立的隨機內泄漏模型正確。

（2）隨機變量的變異系數為0.28時，與文獻［12］獲得的容積效率吻合，表明在此實驗條件下，隨機變量的變異系數為0.28。

（3）齒輪泵容積效率期望E（hv）隨參量變異系數增大而降低，均方差σ（hv）隨參量變異系數增大而增大。

圖1為齒輪泵容積效率變異系數隨參量變異系數的變化規律。可以看出，齒輪泵容積效率變異系數隨參量變異系數增大而增大。

在額定工況下（n＝2250r／min，P＝25MPa），齒輪泵在不同變異系數下，端面間隙的泄漏量Δqs的 期望E（Δqs）、徑向間隙的泄漏量Δqδ的期望E（Δqδ）、液 體 壓 縮 時 的 彈 性 損 失 Δqe的 期 望E（Δqe）以及容積效率的期望E（hv）列入表4。由表4可知，

表1 CBZb2050泵在額定轉速下的容積效率實驗測量值Tab.1 Test results of volumetric efficiency of CBZb2050pumps under rated speed

表2 CBZb2050泵在額定壓力下的容積效率實驗測量值Tab.2 Test results of volumetric efficiency of CBZb2050pumps under rated pressure

（1）當隨機變量變異系數等于0.28時（即在此實驗條件下），計算得到端面間隙泄漏量Δqs的期望E（Δqs）＝3.0274（L／min），徑向間隙泄漏量Δqδ的期望E（Δqδ）＝1.8013（L／min），液體壓縮彈性損失Δqe的期望E（Δqe）＝0.10068（L／min），分別占總泄漏量的58.5%，34.8%和1.9%。

（2）變異系數對端面泄漏量影響最大，對徑向泄漏量影響次之，對液體壓縮時的彈性損失影響最小。

表3 CBZb2050泵在不同變異系數下的容積效率數字特征Tab.3 Volume efficiency’s numeric characteristics of CBZb2050pump under different coefficient of variations

圖1 齒輪泵容積效率變異系數隨參量變異系數變化規律Fig.1 Variation about volumetric efficiency’s coefficient of variation of gear pump with parameters’coefficient of variation

（3）端面泄漏量最大，徑向泄漏量次之，液體壓縮時的彈性損失量最小。

在額定轉速下（n＝2250r／min），齒輪泵在不同壓力下的容積效率期望E（hv）、均方差σ（hv）及變異系數列入表5。由表5可知，

（1）工作壓力對隨機變量的變異系數有影響，即在不同工作壓力下，隨機變量的變異系數不同。

（2）相對于傳統模型容積效率的計算結果hv，隨機流量模型計算結果E（hv）更加逼近實驗結果，即隨機模型比傳統模型更符合工程實際。

表4 在不同變異系數下各容積損失和容積效率的期望值Tab.4 Expectation of volume loss and volumetric efficiency under different coefficient of variations

表5 齒輪泵CBZb2050在額定轉速下的變異系數和容積效率的期望和均方差Tab.5 Gear pump CBZb2050parameters’coefficient of variation and expectation，mean square deviation of volume efficiency under rated speed

在額定壓力下（P＝25MPa），齒輪泵在不同轉速下的容積效率期望E（hv）、均方差σ（hv）及變異系數列入表6。由表6可知，

（1）輸入轉速對隨機變量的變異系數有影響，即在不同轉速下，隨機變量的變異系數不同。

（2）相對于傳統模型容積效率的計算結果hv，隨機流量模型計算結果E（hv）更逼近實驗結果，即隨機模型比傳統模型更符合工程實際。

表6 齒輪泵CBZb2050在額定壓力下的變異系數和容積效率的期望和均方差Tab.6 Gear pump CBZb2050parameters’coefficient of variation and expectation，mean square deviation of volume efficiency under rated pressure

4 結 論

（1）將不確定性理論引入齒輪泵傳統內泄漏模型中進行研究，獲得了齒輪泵隨機內泄漏模型。計算得到容積效率的期望為93.0%～96.7%，與文獻［12］容積效率95.1%相比差異不大，表明所建立的隨機內泄漏模型的正確性；隨機變量的變異系數為0.28時，與文獻［12］實驗獲得的容積效率吻合，表明齒輪泵工作時隨機變量的變異系數為0.28。

（2）與傳統模型相比，隨機內泄漏模型能夠獲得在不同變異系數下齒輪泵容積效率期望與均方差的變化規律；所得到的容積效率期望更符合實驗數據，建立的隨機內泄漏模型比傳統模型更優越。

（3）變異系數對端面泄漏量影響最大，對徑向泄漏量影響次之，對液體壓縮時的彈性損失量影響最小。

（4）工作壓力和輸入轉速對隨機變量的變異系數有影響，且隨機模型比傳統模型更符合工程實際。