區間參數結構平穩隨機載荷識別方法

祁武超， 劉 恒

（沈陽航空航天大學 航空航天工程學部，沈陽110136）

1 引 言

工程結構反演問題的研究始于20世紀70年代，主要是為了更準確地了解飛機飛行過程中的受載情況［1］。工程結構反演問題中，一般將動載荷分為確定性載荷和隨機載荷。最初，隨機動載荷的識別方法是基于直接求逆思想進行；隨后引進了譜分解的理論。Lin等［2］引入譜分解理論，將振動響應的功率譜密度矩陣進行譜分解，然后通過構造逆虛擬激勵計算得到逆虛擬諧波響應，最后識別出隨機動載荷的功率譜密度矩陣。姜金輝等［3］根據譜分解理論，提出了多點任意相關的隨機動載荷識別方法。Jia等［4］分析了在隨機動載荷識別過程中誤差的來源及對結果的影響，并提出了一種考慮識別誤差的隨機載荷識別方法。

外載荷大多具有隨機性，工程結構本身也有很大的不確定性。工程結構的動載荷識別方法中，處理結構不確定性的方法主要有概率模型和區間模型［5］。當工程結構中的不確定性量具有充足的樣本信息時，使用概率模型是合理的。然而，工程結構中能夠得到的不確定量信息往往較為貧乏。此時，若使用區間變量來描述結構體系中的不確定性參數，工程反演問題將得到極大簡化。并且當工程結構中含有不確定性量時，確定不確定性量包含的區間界值要比確定其統計約束更為容易［6］。

區間模型在不確定性結構動力學響應分析中的應用已經較為成熟，Qiu等［7，8］利用區間分析方法對不確定性結構進行了動力學響應分析。Jiang等［9］提出基于區間分析的不確定性反求方法，并將該方法用于復合材料層合板的材料參數識別中。Liu等［10］提出了一種將區間分析與正則化相結合的不確定性結構的動態載荷識別方法。王曉軍等［11］基于格林函數提出了一種動載荷識別的區間方法。Xiao等［12］基于區間有限元與伴隨優化，提出了一種結構靜力參數載荷識別的區間方法。祁武超等［13］基于一階Taylor展開方法和區間數理論，提出了一種不確定性結構簡諧激勵載荷的識別方法。

本文針對貧信息下的不確定性結構隨機載荷識別問題，將不確定參數描述為區間變量，在頻域中，使用基于Taylor展開的區間分析方法處理結構體系中的不確定因素，最后給出待識別隨機載荷的功率譜密度的區間界值。在頻域中，構建頻響函數矩陣、載荷功率譜密度矩陣和響應功率譜密度矩陣之間的傳遞關系，通過頻響函數矩陣求逆，計算各不確定性量抽樣點處的待識別載荷功率譜密度。

2 問題描述

對于一個n自由度系統，其振動微分方程通常可以描述為一個依賴結構參數的線性方程，

式中 M，C，K∈Rn×n，F ∈Rn，u∈Rn，h∈Rm，且h為工程結構中的參數向量，如材料密度和彈性模量等參數。通常情況下很難給出工程結構參數的準確值。一般可以根據實驗方法給出結構參數的上下界值，滿足

根據區間數學中的記法，可將約束條件式（2）記為

式中hI＝［h－，h＋］＝［］×，］×…×［］，h為區間參數向量，hi為區間參數變量。在式（1）所述的n自由度系統中，設置Ni個加載點，加載方式為平穩隨機激勵，加載在位置p1，p2，…pNi處，平穩隨機激勵力向量為

測量點的個數為No個，分別布置在l1，l2，…，lNO處。要對式（4）的隨機激勵力向量進行識別，需要通過實驗測得l1，l2，…，lNO處各測點的隨機響應值，且一般要求Ni≤No。

由于隨機激勵有別于確定性激勵，所以一般不能對加載的隨機激勵直接進行載荷識別。在已知隨機激勵作用位置的條件下，通過響應信息和結構的傳遞特性來識別隨機激勵的功率譜密度。當式（4）為一個均方連續的平穩隨機過程時，工程結構的隨機激勵與隨機響應之間的關系可表示為

在對式（5）進行載荷識別得到平穩隨機激勵的譜密度矩陣的過程中，由于結構參數具有不確定性，使得反演所得到的譜密度矩陣也具有不確定性。通常情況下，難以在式（3）確定的約束條件下直接反演式（5）的解集。解集合Γ可表示為

對具有區間參數的工程結構進行載荷識別的目的是找到一個包含Γ的最小區間SIFF（h，ω），并稱SI

FF（h，ω）為式（5）在式（3）所示約束下的區間界值。

3 確定性頻域隨機載荷識別方法

不確定性向量h∈hI的一個樣本h＝［h1，h2，…，hm］，可轉變為一個確定性隨機載荷識別問題。記此時系統的第r階固有頻率、模態振型、模態質量、模態剛度和模態阻尼分別為ωr，r，mr，kr和ζr，并記模態矩陣為Φ，頻響函數矩陣為H（ω），則在頻域內，隨機激勵fp（ω）對位置lj的頻響函數i為［14］

由頻響函數的物理意義可知，系統在lj處的位移由隨機激勵力fpi（ω）（i＝1，2，…，Ni）在lj處引起的位移疊加形成，有

對于隨機載荷頻域識別，由上文可知待識別載荷數為Ni，實測響應數為No，則式（8）隨機激勵力與響應之間的關系由功率譜密度函數表示為

式（9）可重寫為矩陣形式：

式中 SXX（ω）No×No和SFF（ω）Ni×Ni分別為實驗測得的各響應間的功率譜密度矩陣和待識別各載荷間的功率譜密度矩陣。一般在進行載荷識別時，要求的測點個數多于待識別載荷數，即Ni≤No，所以式（10）中H（ω）為列滿秩，可使用各響應的自功率譜密度來反演各激勵的自功率譜密度，

式中 上標＋為Moore-Penrose偽逆。

4 基于Taylor展開的區間分析

當系統結構參數包含區間變量h時，則識別的各載荷間的功率譜密度也將包含不確定性影響，可將式（11）改寫為

將式（12）在區間向量h的中點向量h0處進行一階Taylor展開，得到

則有向量h0使式（14）的隨機載荷識別系統成立，

根據式（13）估算待識別隨機激勵力的功率譜密度的區間界值，還需求出SFF（h，ω）關于區間向量h在中值向量h0處的靈敏度 SFF（h0，ω）／ h，并且該靈敏度在工程結構載荷反演過程中也是未知的。工程中常使用函數的差分代替微分，在此可使用式（15）計算靈敏度，

式中 δh為關于向量h的攝動，其中SFF（h0＋δh，ω）可通過式（12）計算得到，即

根據自然區間擴張定理［15］，可以得到所識別各載荷間的功率譜密度SFF（h，ω）的區間界值為

由區間數相等的充分必要條件，可得待識別各載荷間的功率譜密度SFF（h，ω）一階近似響應函數的界值為

h0－h－＝h＋－h0為區間端點到區間中值的距離，記為Δh，稱為區間半徑向量，則式（18，19）可改寫為

上述非概率區間載荷識別方法在不確定性參數的名義值點處進行一階Taylor展開，則不確定性結構隨機載荷識別問題變為不確定性參數的名義值點處進行隨機載荷識別問題和計算載荷關于不確定性參數的靈敏度問題。當系統中的不確定性參數為m個時，此方法需要進行m＋1次原問題規模的識別過程。因此，相對于概率方法，區間方法不僅能在貧信息下有效地進行載荷識別，還能夠提高不確定性結構載荷識別的計算效率。

5 數值算例

5.1 平面10桿桁架

圖1所示的平面10桿桁架結構中，材料的彈性模量為E，質量密度為ρ，截面積為A。在節點4處y方向施加一隨機激勵力，通過測量其他節點上的位移響應信號，對節點4處的隨機激勵進行載荷識別。為驗證結果的正確性，在節點4處y方向施加一隨機激勵力，其自功率譜密度如圖2所示。然后，計算得到其他節點上位移響應信號的功率譜密度。考慮結構中有可用區間參數描述的不確定性量時，使用計算得到的位移響應信號功率譜密度反演得到加載在節點4處隨機激勵的功率譜密度。在進行載荷識別時應盡量避開共振頻率，系統阻尼假設為比例阻尼，比例阻尼系數分別為a＝0.002，b＝0.0035。

取彈性模量E和質量密度ρ為不確定性量，使用區間參數EI和ρI描述，即有區間向量h＝［EI，ρI］，其中A＝1×10－4m2，L＝1m，E和ρ的中值取E ＝2.1×1011Pa，ρ＝7.8×103kg／m3。當區間向量h＝［EI，ρI］的區間變差為5%時，分別使用1號節點x方向的位移響應信號、2號節點y方向的位移響應信號和3號節點y方向的位移響應信號來進行隨機載荷識別，結果如圖3～圖5所示。

圖3～圖5分別給出了區間向量h＝［EI，ρI］在相同區間變差下，不同位移響應信號時隨機載荷識別結果的上下界值。可以看出，在不同節點位移響應信號下，載荷名義值都能落在識別結果的區間界值中，并且由表1可知，不同識別結果的區間半徑都相差很小。該識別方法基于仿真模型的響應數據測量，在不考慮測量噪聲的基礎上，對節點選擇的依賴性較小。若基于實測信號進行載荷識別，則應將測點布置在載荷作用點附近，并且各測點之間不宜有太大的相關性。

圖1 平面10桿桁架Fig.1 10-bars truss structure

圖2 節點4處施加的隨機激勵力的自功率譜Fig.2 Power spectral density of random excitation force of node 4

表1 不同情況下載荷識別結果區間半徑（×10－3（kg·m）2·s－3）Tab.1 Interval radii of load identification results in different cases

圖3 依據1號節點x方向位移的識別結果Fig.3 Identification results using horizontal displacement responses of node 1

圖4 依據2號節點y方向位移的識別結果Fig.4 Identification results using vertical displacement responses of node 2

圖5 依據3號節點y方向位移的識別結果Fig.5 Identification results using vertical displacement responses of node 3

圖6 不確定性量在不同變差時的載荷識別結果Fig.6 Results of the uncertainty of the uncertainties in different variations

考慮區間向量h＝［EI，ρI］的區間變差分別為2.5%，5%，7.5%和10%時，使用2號節點y 方向的位移響應信號進行載荷識別。可以看出，當使用相同的位移響應信號進行載荷識別時，受到不確定性量區間變差的影響，載荷識別界值將隨著不確定性量變差范圍的增大而增大。其中，在相同區間變差下，低頻段識別結果的區間半徑要大于高頻段的區間半徑，這主要是由于系統的共振點在低頻段，并且阻尼系數引起的誤差累積在共振點附近的低頻段得到放大，而遠離共振頻率的高頻段受阻尼的影響更小，識別結果更好。

5.2 機翼結構

建立如圖7所示的機翼結構有限元模型，其中材料的彈性模量為E，質量密度為ρ，約束機翼一端。在節點P處z方向施加一隨機激勵，隨機激勵的功率譜密度為馮-卡門譜［16］：

式中 L＝0.01，σ2j＝500，50≤ω≤1000，采用測量得到的節點M處z方向的位移響應信號進行載荷識別，反演節點P處施加隨機激勵的功率譜密度。

機翼結構參數中的彈性模量E和質量密度ρ為不確定性量，使用區間參數EI和ρI進行描述，即可將結構中的不確定性量表示為區間向量h＝［EI，ρI］，其中E 和ρ的中值分別取為E ＝2.1×1011Pa，ρ＝7.8×103kg／m3。當區間向量h＝［EI，ρI］的區間變差分別為2.5%，5%，7.5%和10%時，采用測量得到的節點M處z方向的位移響應信號的功率譜密度來進行識別，得到加載點P處隨機激勵的功率譜密度的上下界值。其中，使用MSC Nastran計算M處測量的z方向位移響應信號和頻響函數矩陣信息。

圖7 機翼結構有限元模型Fig.7 Finite element model of wing structure

表2 機翼結構模型前十階固有頻率Tab.2 Frequency of the first ten steps of the wing structure model

圖8 不確定性量在不同變差時的載荷識別結果Fig.8 Results of the uncertainty of the uncertainties in different variations

表2給出了機翼結構的前十階固有頻率，圖8給出了區間向量h＝［EI，ρI］在不同區間變差下的識別結果。可以看出，載荷名義值都能落在識別結果的區間界值中，區間向量變差越大，得到的識別結果區間界值越寬。系統激勵頻率為50≤ω≤1000，不包含機翼結構的結構基頻。其中，在相同區間變差下，低頻段低階固有頻率附近的識別結果較差，這是由于系統的共振點在第二階固有頻率處，由阻尼系數引起的誤差累積在共振點所在的低頻段得到放大。隨著固有頻率階次的增加，其識別效果越好，這是由于隨著固有頻率階次的增加，系統激勵頻率遠離共振頻率，阻尼對識別精度的影響也越來越小。

6 結 論

針對貧信息下不確定性結構的隨機載荷識別問題，在頻域中，將結構體系中的不確定性參數用區間變量描述。使用基于Taylor展開的區間分析方法處理結構體系中的不確定因素，給出了一種不確定性結構平穩隨機載荷識別的非概率區間方法。數值算例結果表明，在進行載荷識別時，受不確定性量的影響，不確定性量確定的區間范圍越大，識別出的區間界值越寬。本文方法可為在貧信息下不確定性環境中的結構設計提供更為可靠的載荷工況。