集合中的“關系學”

吳保穎

[摘???要]集合中的關系復雜，厘清集合中的“關系”，可以幫助學生突破集合難點.

[關鍵詞]高中數學;集合;關系

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻標識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0031-02

集合歷來被認為是高中數學“大廈”的基石，沒有集合，就無法定義函數的三要素，更無法用集合的觀點處理其他數學問題.因此，學好集合是學好高中數學的第一步.學生如何學習集合呢？初學集合，掌握集合中的“主要矛盾”最重要，而這個主要矛盾，就是集合中的“關系學”.那么，集合中的“關系學”主要體現在哪些方面呢？

一、元素與集合間的關系

集合是由元素組成的，當集合中含有有限個元素時，該集合被稱為有限集;當集合中含有無限個元素時，該集合被稱為無限集;當集合不含任何元素時，該集合被稱為空集，用符號[？]表示.由此可見，元素是集合家族的成員，對于集合來說，元素具有確定性.

[例1]（1）設集合A有且僅有一個元素a，則以下各式中正確的有（）.

A.?[0∈A]B.?[a？A]C.?[a∈A]D.?[a=A]

（2）以下四種表示，其中正確的個數是（）.

①?[π∈R];②?[3？Q];③?[0∈N？];④?[-4？N？]

A.?4B.?3C.?2D.?1

解析：（1）因為[a]是集合[A]的元素，所以[a∈A].?故本題選C.

（2）?①因為圓周率是實數，所以[π∈R]正確;②因為[3]不是有理數，所以[3？Q]正確;③因為集合[N？]中不含0，所以[0？N*]，所以[0∈N？]錯誤;④因為[-4=4∈N？]，所以[-4？N*]，故①②正確，共2個，本題選B.

評注：（1）一旦集合確定，那么它的元素也就確定了.因此，元素[a]與集合[A]的關系有兩種：[a∈A]或[a？A].

（2）集合中的元素都具有某種特征，這是判斷某元素是否屬于該集合的依據.

二、同一個集合中元素與元素之間的關系

當一個集合含有多個元素的時候，這些元素在集合中的分布是無序的，同時也是互異的，也就是說，在同一個集合中是不存在兩個相同的元素的.

[例2]設[A=-4，2a-1，a2，B=9，a-5，1-a]，已知[A？B=9]，求實數[a]的值.

解析：[∵A？B=9?，∴9∈A]，若[∵A？B=9?]，[∴9∈A]，則[a=5]，此時[A=-4，9，25?，B=9，0，-4]，[A？B=9，-4]，與已知矛盾，舍去;

若[a=9]，則[a=±3]，當[a=3]時，[A=-4，5，9]，[B=-2，-2，9]?.

B中有2個元素均為[-2]，與集合中元素的互異性矛盾，應舍去.當[a=-3]時，[A=-4，-7，9]，[B=9，-8，4]，符合題意.綜上所述，[a=-3].

評注：在求出了“[a=5]或[a=±3]”后，是否大功告成？實際情況卻并非如此，這只是保證[9∈A]，當然有[9∈A？B]，但是否[A？B=9]，以及集合B中的元素是否滿足互異性，還有待進一步考查驗證.

三、集合間的相等關系

當[A？B]且[B？A]時，[A=B]，也就是說這兩個集合中的元素對應相等.

[例3]（1）設集合[A=x2，x，xy]，[B=1，x，y]，若集合[A=B]，求實數x、y的值.

（2）設集合[A=aa=3n+2??，??n∈Z]，[B=bb=3k-1]，[k∈Z]，試判斷集合A與B是否相同.

解析：（1）由[A=B]，得[x2=1，xy=y，]?或[x2=y，xy=1，]

解得[x=1，y∈R，]或[x=-1，y=0，]?或[x=1，y=1.]

經檢驗當取[x=1，y∈R]與[x=1，y=1]時不滿足集合中元素的互異性，所以[x=-1]，[y=0].

（2）[A=B]，證明如下.

先證明[A？B].設任一元素[a∈]?A?，則[a=3n+2=3（n+1）-1]?（n?∈?Z），由于[n∈Z]，則[n+1∈Z]，所以有[a∈]?B，故[A？B].

再證明[B？A].又設一元素[b∈B]?，則[b=3k-1=3（k-1）+2]（k?∈?Z）.因為[k∈Z]，則[k-1∈Z].所以[b∈A]?，故[B？A]?.由此可知[A=B]?.

評注：（1）求解含參兩個集合相等問題，只需兩個集合相等的定義列出方程組.但由于集合中的元素具有無序性，故一定要注意所列方程組是否完整.此外還要對結果進行檢驗，以確保集合中的元素滿足互異性.（2）要證明[A=B]，應同時論證[A？B]與[B？A]都成立.

四、集合間的包含關系

當集合A中的元素都在集合B中時，集合A是集合B的子集，稱集合B包含集合A?.

[例4]已知集[A=x1

解析：?（1）當[a=0]時，[A=？]，滿足[A？B].

（2）當[a>0]時，[A=x1a

又∵[B=x-1

（3）當[a<0]時，[A=x2a

評注：（1）“[A？B]”，就是說集合[A]中的每一個元素都在集合[B]中，即[？x∈A？x∈B]?;（2）我們不可將“[A？B]”當成集合[A]的元素來源于集合[B]中的一些元素，因為當[A=？]時，[A？B]，但A中不含任何元素;又當[A=B]時，也有[A？B]，但A中含有B中的所有元素，這兩種情況都有[A？B].

五、空集與非空集合之間的關系

當一個集合中沒有任何元素時，我們稱之為空集[？].任何元素都不可能是空集的元素，用符號表示即為[？a？？].空集是所有集合的子集，記作[？？A]（[A]為任意集合）.同時，空集也是所有非空集合的真子集.另外，空集與所有集合的交集是空集，即[A？？=？]，空集與任何集合的并集還是這個集合，即[A？？=A].

[例5]已知[A=x-2≤x≤5]，[B=xa+1≤x≤2a-1]，[B？A]，求實數a的取值范圍.

解析：[∵B？A]，又[？？A]，[∴]需對[B=？]與[B≠？]兩種情況分別討論確定a的取值范圍.

（1）當[B=？]時，則有[a+1>2a-1]，即[a<2].

（2）當[B≠？]時，則有[2a-1≥a+1，a+1≥-2，2a-1≤5，]解得[2≤a≤3].由（1）（2）可知[a≤3].

評注：從集合角度看，這里[a≤3]包含兩個意義：一是[B=？]，二是[B≠？].空集，常常叫人防不勝防，可謂是個隱形陷阱，解題時必須要有防范意識.

六、全集與補集的關系

一個集合與它的補集的并集，就是全集.利用補集思想和全集與補集的關系，有時可以簡化計算.

[例6]對于拋物線1：[y=x2+4ax-4a+3]，拋物線2：[y=x2+（a-1）x+a2]，拋物線3：[y=x2+2ax-2a]，若它們中至少有一條拋物線與[x]軸存在公共點，那么實數[a]的取值范圍是_______.

解析：本題若從正面分析，則采用分類討論思想，情況繁雜，叫人應接不暇.而從反面考慮，則只需關注三個拋物線與x軸均無交點，即對應的三個一元二次方程均無解，

于是有[Δ1=（4a）2-4（-4a+3）<0，Δ2=（a-1）2-4a2<0，Δ3=（2a）2+8a<0.]

不難解得[-32

利用補集思想，便可得實數a的取值范圍：

[-∞，-32？-1，+∞].

（責任編輯 黃桂堅）