萬澤青

（揚州大學 建筑科學與工程學院，江蘇 揚州 225127）

1 引言

對一個實際的彈性力學問題而言，其幾何特征、受力特征以及邊界約束條件往往是十分復雜的，要精確地求得彈性力學問題的解不但是復雜的，而且往往是不可能的.因此，伴隨彈性理論的建立，尋求彈性力學問題的各種解法（包括近似解和數值解）便成為許多力學工作者、應用數學工作者的一個重要研究領域.

從數學的角度而言，對于特定邊界條件下求一個泛函的極值問題和在適當條件下求解一個微分方程的邊值問題是等價的[1].這種將彈性力學的邊值問題用相應泛函的極值問題來表述并求解的方法就是所謂的變分法，這是工程實際中廣泛采用的一種有效的近似方法.

2 變分法的實質

設要求過平面上A、B兩點的曲線y(x)使其具有的長度最短（圖1），這是一個簡單的短程線問題.顯然，與這個問題相應的泛函為

圖1

要求y(x)使L具有最小值.為使積分存在，需要求允許函數y(x)的區間[a,b]上的連續可微函數，并且在端點x=a和x=b處，具有給定值y(a)及y(b).因而，泛函L[y(x)]的允許函數類為{y(x)}={y(x)∈C1[a,b]，且 y(a)和 y(b)給定}.

這個問題屬于尋找y(x)是一個什么樣的函數可以使得泛函取極小值，這就是變分法的實質.變分法是把物理或力學基本微分方程的定解問題變為求泛函的極值問題；在求近似解時，又往往將泛函的極值問題轉變為求函數的極值問題，從而把微分方程邊值問題的求解歸結為線性代數方程組的求解.

3 應用舉例

隨著近代科學技術的發展，變分法的內容更加豐富和廣泛了，并且已經發展成為數學的一個分支——變分學.作為變分原理的一種重要應用，下面研究工程上常見結構的變分原理，并由此推出平衡微分方程和力的邊界條件.

圖2

設有一彈性梁，材料彈性模量為E，如圖2所示.設x=0端固定，x=l端自由，并承受軸向力N、集中力偶矩M和分布荷載q(x)的作用.可由變分原理導出此梁的撓度微分方程和x=l端力的邊界條件.

首先計算梁的總勢能.根據材料力學的平截面假設，可以忽略切應變，因而軸向線應變

而

式中，w是軸線的撓度，ρ為曲率半徑，σx為橫截面上正應力，M為x截面的彎矩，慣性矩I=?y2dydz.于是，梁的應變能為

而外力做的功為

式中，θ(l)=w'(l).故梁的總應變能為

根據最小總勢能原理，平衡時梁的總勢能取極小值[2]，故有

這里采用的就是變分法，即求泛函的極值方法.

利用分部積分，并注意到微分和變分可交換次序，于是，(5)式可寫成

由于δw的任意性，故得歐拉方程

(7)式即為問題的平衡微分方程.在邊界上有

由于x=0端是固定的，因而虛位移必須滿足條件

同時，在x=l端是自由的，故虛位移δw(l)和δw'(l)不受任何約束，從而得到x=l端的自然邊界條件為：

(10)式中兩個表達式表示在梁的自由端同時受力偶和軸向力作用時的邊界條件.若自由端無外力作用，則邊界條件為

4 結束語

從上面的討論可以看出，應用變分原理的幾個主要步驟是：

（1）從給定力學問題的特點出發，建立能量泛函并給定允許函數類；

（2）通過對該泛函的變分，由泛函極值的必要條件δI=0推導歐拉方程和自然邊界條件.最后，可在基本邊界條件和自然邊界條件下，求解歐拉方程.

顯然，數學中的變分法與力學中的很多問題有著密切的關系，對解決某些力學問題有著重要的作用.