基于細化等級賦分問題的研究

趙吉祥，姚興貴，呂香歸，許鵬飛

（安徽農業大學 工學院，安徽 合肥 230036）

1 背景知識

安徽省教育廳發布了《安徽省普通高中學業水平考試實行辦法》，此辦法從2018年秋季入學的普通高中一年級學生開始實施.

實施辦法中規定：《普通高中課程方案（實驗）》所設定的科目均列入普通高中學業水平考試范圍，包括語文、數學、外語、思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物、信息技術和通用技術、體育與健康、藝術（或音樂、美術）.普通高中學業水平考試包括合格性考試和等級性考試兩類.合格性考試設置科目為語文、數學、外語、思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物、信息技術和通用技術、體育與健康、藝術（或音樂、美術）.等級性考試設置科目為思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物.學生必須參加所有科目的合格性考試，考試成績合格后，方可根據報考高校要求和自身興趣特長，在6門科目中自主選擇3門參加等級性考試.

等級性考試成績以等級呈現，按獲得該次考試有效成績的考生（即缺考或未得分的考生除外）總數的相應比例由高到低劃分A、B、C、D、E五個等級.各等級人數所占比例依次為：A等級15%，B等級30%，C等級30%，D、E等級25%.學生學業水平考試所有科目成績提供給招生高校使用，等級性考試3門科目成績以細化等級賦分方式計入高校招生錄取總成績.

本文將從以下兩個問題展開：

（1）對實施辦法中將A、B、C、D、E五個等級的比例從定性和定量的角度對比例設置做出合理評價.

（2）對于等級性考試3門科目成績以細化等級賦分方式計入高校招生錄取總成績，建立數學模型，研究如何進行細化等級賦分.

做出流程圖如下圖所示：

首先針對問題及實際背景做假設如下：

（1）假設各科等級比例劃分合理.

（2）假設D、E合并為一個等級，記為H，占25%，即本題共研究四個等級（A、B、C、H），所占等級比例分別為15%、30%、30%、25%

（3）假設學生所選科目對等級劃分無影響，且各科考試成績分布相對均勻.

（4）假設各科所報人數大致合理，在可控范圍內.

首先從定性和定量角度評價等級性考試中單科等級A、B、C、D、E 比例設置的合理性.

定性角度分析：

結合全國各地普通高中及各個自然班學生成績的普遍分布規律，存在優秀、良好、合格、不合格的梯度分布，進一步分析以上四個等級學生所占比例與題中等級比例設置基本相仿.所以，從定性角度分析實施辦法中，對于A、B、C、D、E五個等級比例設置相對合理.

定量角度分析：

（1）根據對近幾年安徽及全國其他地區高考試卷難度分析，發現難題、中等題、簡單題符合2:6:2的比例分布，與實施辦法中比例設置近乎吻合.

（2）根據教育部2012年5月22日公布的數據顯示，我國共有844所高等本科院校，其中985及211學校共112所，占所有本科院校比例約為13.3%，與等級A的設置比例（15%）相近，然后結合其他數據及成績分布近似正態分布原理得出其他等級的比例劃分也合理.

2 模型的建立與求解

2.1 符號說明

表1 符號說明表

2.2 問題2的分析

對等級性考試進行細化等級賦分，建立層次分析（AHP）數學模型，將其共分為三層，其中第一層目標層（O）為細化等級賦分，第二層準則層（C）共分為四個因素，第三層方案層（P）共有20種方案，對其進行權重計算比較，進行綜合排序，即對應由優到差排序將其劃為20檔，然后對其合理賦分.其中第一檔為滿分，每隔3分一檔，最低檔為40分，以此進行合理細化等級賦分.

根據實施辦法中，每個學生只選考三門課，即每名學生只會有三門考試科目的等級，學生三門科目所有的等級組成由A、B、C、H排列組合形成，經過分析共有20種不同的等級組成.分別為 AAA、BBB、CCC、HHH、ABC、ABH、ACH、BCH、AAB、AAC、AAH、BBA、BBC、BBH、CCA、CCB、CCH、HHA、HHB、HHC.并按以上順序對其編號分別為

并依次為從方案1到方案20，不同的等級組合所對應的層次不同.針對以上20種不同的等級組合，我們采用層次分析方法建立數學模型，利用組合權重比較，從優到劣進行逐一排序，然后對其合理賦分.

2.3 層次分析法模型建立與求解[1]

2.3.1 建立層次結構圖

根據實施辦法中所給的A、B、C、H四個等級的比例設置確定目標層O、準則層C和方案層P，建立如下圖1所示的層次結構圖.

圖1 層次結構圖

第一層為目標層O：細化等級賦分；

第二層為準則層C：影響細化等級賦分的四個因素，依次為 A、B、C、H；

第三層為方案層P：學生成績等級的所有可能組合.

2.3.2 確定準則層對目標層的權重向量

這是一個4階的正互反矩陣，用和法計算可得A的最大特征根為λmax=4.0001，相應的歸一化特征向量為ω2=(0.1429,0.2857,0.2857,0.2857)T,一致性檢驗，經查RI值表可知當n=4時，RI=0.96，所以，通過一致性檢驗，所以ω(2)可以作為準則層對目標層的權重向量.

2.3.3 確定方案層P對準則層的權重向量

根據實施辦法中的各等級的比例設置和模型的假設，可以構造方案層P中20種所有可能的等級組合形式對準則層C中各因素Ck的兩兩比較矩陣Bk(Bij(k))20×20,其中Bij(k)=顯然，所有的 Bk(k=1,2,3,4)均為一致陣，由一致陣的性質可知，Bk的最大特征根CIk=0,CRk=0,Bk的任一列向量都是的特征向量，將其歸一化可得方案層P對Ck的權重向量ωk(3)(k=1,2,3,4).于是，方案層對準則層的權重向量矩陣為一致性比率為CRk=0（k=1,2,3,4）,通過一致性檢驗.

2.3.4 確定方案層P對目標層O的組合權重向量方案層對目標層的組合權重向量為

顯然，組合一致性指標CI(3)=(CI1(3),CI2(3),CI3(3),CI4(3))ω(2),=0，組合一致性比率為

所以，通過組合一致性檢驗，組合權重向量ω(3)可以作為分級依據.

將權重ω(3)的20個分量分別作為20種成績等級的綜合考量，從優到劣依次為

具體對應于20種成績組合進行從優到劣排名如下：AAA,AAB,AAC,AAH,BBA,ABC,BBB,ACC,BBC,ABH,AHH,BBH,ACH,BCH,BCC,CCC,HHB,CCH,HHC,HHH.

2.3.5 對20種成績等級進行合理賦分

通過綜合考慮，可將以上所得20種成績等級進行如下賦分，其中AAA為第一等級為100分，每相鄰等級為一檔，共20檔，每檔分差為3分，從AAA開始對以上所得的20種等級排名進行依次賦分，直至HHH檔為40分，以此對其進行合理賦分.

2.3.6 結合以上所得結果和實施辦法綜合考慮

根據本題假設中D、E為同一等級，均為H，所以學生所得D、E等級得分相同，所以AAD和AAE為同一等級，實際所得分數相同（其他情況類似），于是，綜合所得結果和實施辦法考慮，又可將20種等級分布中含H等級的細分為D、E兩種不同等級，但實際所得分數相同.綜上所述，可對問題2進行合理賦分.

3 模型的誤差分析

1.假設中提到學生所選科目及各科所報人數均分布合理，且對等級劃分無影響.但綜合實際考慮，學生所選科目受其自身特長和興趣影響所以可能存在各科所報人數分布并不合理，因此對等級劃分可能存在一定的影響，使結果存在一定的誤差.

4 模型的評價與推廣

4.1 模型的優點

（1）從層次分析方法的原理、步驟、應用等方面的討論不難看出，層次分析模型是一種能有效處理這類指標難以量化的社會問題的實用模型，它具有系統性、實用性、簡潔易懂性等優點.

（2）本模型中采用的層次分析過程中所構造的兩兩比較矩陣均是根據安徽省教育廳發布的《安徽省普通高中學業水平考試實行辦法》，有較高的可靠性，能夠系統、公正、有效地細化等級賦分.

4.2 模型的缺點

（1）AHP模型中所用的指標體系需要有權威系統的支持，如果給出的指標不合理則得到的結果也就不準確.

（2）AHP方法中進行多層比較的時候要給出一致性檢驗，如果不滿足一致性指標要求，則此方法失去作用.

4.3 模型的推廣

該模型具有廣泛的應用價值，還可以應用于其他的評價問題，比如選優評價等問題中.