孫新兵

（閩江學院 科研處，福建 福州 350108）

群體決策廣泛應用于社會選擇、文體競技、金融管理以及項目評審等領域.Arrow關于偏愛公理和不可能性定理的發表為群體決策的偏愛分析奠定了基本理論基礎[1].此后，以偏愛分析為主的關于群體決策的理論研究引起學者們的重視和興趣，并開展了較為深入的探討[2-6].目前大部分方案對偏愛值的刻劃比較粗糙，本文提出了一種新的規則：α-偏差比較規則.該規則可以通過調節 來調節群體滿意的偏愛，體現了很強的靈活性和應用性，并且該規則滿足4個偏差公理；同時根據該規則構造出一種排序方法α-偏差法，并將其用于科研項目評審中.

1 群體決策的α-偏差比較規則

設X是供選方案集 (X中的方案數不少于2個)，DMr(r=1,…,l,l≥2)是第 r個決策者，DMr在 X 上的偏愛、嚴格偏愛及淡漠分別為Rr，Pr和Ir,(Pr,Ir)和Rr互相生成.設決策群體為G={DM1,…,DMl}，G在X上的偏愛、嚴格偏愛及淡漠為R、P 和 I，（P，I）和 R 互相生成.

定義1.1設θr為一個偏差度泛函在DMr在X×X上，則 G 在 X 上的一個偏差度截面即為泛函組:θ1,…,θl，記做(θ1,…,θl).

定義1.2稱是分案對(x,y)關于偏差度截面(θ1,…,θl)X的偏差數.

對于供選方案集 X={x1,…,xs}(s≥2)，令 m=max{θ(xi,xj),i,j=1,…,s}.

定義1.3設Rr是DMr在X上的偏愛，R是G在X上的偏愛，(P,I)和R互相生成.u,x,y∈X,其中u為基準方案，θ(x,y)是方案對(x,y)的偏差度截面(θ1,…,θl)X的偏差數，α∈(0,l-1].若對任意的x,y∈X，定義：

2 必要條件

定理 2.1(一致性) 設 R=θα(θ1,…,θl),R'=θα(θ'1,…,θ'l)X和(θ'1,…,θ'l)X是 G 在 X 上的兩個偏差度截面，若對?x∈X,?y,z∈X{x}滿足：

則xPy?XP'y.

證明由 θ'r(x,y)≥θr(x,y)r=1,…,l得

若 x≠u，因為 x∈X，?y,z∈X{x},θ'r(y,z)=θr(y,z)r=1,…,l則

故 θ'r(x,u)≥θr(x,u)r=1,…,l，并且其中至少有一為“＞”,則

由 xPy可得 θ(y,u)+m＞α(θ(y,u)+m)，則

即xP'y.

若 x=u，因為 θ'r(x,y)≥θr(x,y),并且其中至少有一為“＞”，r=1,…,l，則

由 xPy 可得 θ(x,u)+m＞α(θ(y,u)+m)，則

即xP'y.

定理 2.2(獨立性) 設 R=θα(θ1,…,θl),R'=θα(θ'1,…,θ'l)，(θ'1…θ'l)X和(θ'1,…,θ'l)X是 G 在 X 上的兩個偏差度截面，集合S?X.若 θr(x,y)=θ'r(x,y)，?x,y∈S,r=1,…,l則 xRy?xR'y.

證明由 θr(x,y)=θ'r(x,y)，?x,y∈S,r=1,…,l可得

則

因為 xRy，所以 θ(x,u)+m≥α(θ(y,u)+m)，則

即xR'y.同理由xR'y可證xRy.

定理2.3(非強加性) 對任意的x,y∈X,x≠y，總存在G在 X 上的一個偏差度截面，使得由生成的

證明記只要對任一 DMr(r=1,…,l)均取(x,y)＞0,α＞1.所以，故

定理 2.4(非獨裁性) 設 R=θα(θ1,…,θl)，m≤(l-1)d，則不存在 t∈{1,2,…,l}，對任意的 x,y∈X，有 xPty?xPy.

證明設 x,y∈X，對某 t∈{1,…,l}有 xPty，則

取 θr(y,u)=d，θr(x,u)=-d,r=1,…,l,r≠t,則 d≤m≤(l-1)d，故

故 yRx，即 -xPy.

3 偏差法及在科研項目評審中的應用舉例

步驟如下：

(1)選定參數α；

(2)在每位決策者對各個科研項目評分的基礎上，進而決定個體偏差度m；

(3)決定基準方案 xj∈X，由各 DMrr=1,…,l，提供關于(xi,xj)(xi∈X,i=1,…,s)的個體偏差度 θr(xi,xj)r=1,…,l；

(5)利用定義2.3對各方案進行選優.

設有三個科研項目如：x1,x2,x3聘請三位專家對三個科研項目的進行評審.現取α=2.評分如下：

下面根據α-偏差法進行選優.

(1)現取 α=2.

(2)θ1(x1,x2)=1,θ1(x1,x3)=-3,θ1(x2,x3)=-4

根據 m=max{θ(xi,xj),i,j=1,…,s}，可以得到 m=12.

(3)現選定x3為基準方案

即 θ(x3,x3)+m＞α(θ(x1,x3)+m),θ(x1,x3)+m＞α(θ(x2,x3)+m)

由定義1.3可得x3Px1Px2，由此可知最優科研項目為x3.