正弦函數兩種泰勒展開式的比較

張文華，汲守峰

（唐山學院，河北 唐山 063000）

0 引言

泰勒公式主要是利用泰勒多項式來近似表達其它計算復雜的函數，而多項式中只有加法和乘法兩種運算，使得泰勒公式成為在近似計算和誤差估計中的重要工具[1]，而在高等數學教材[2]中，對于正弦函數sinx的泰勒公式展開式只給出了偶數項展開公式，對奇數情況并未給出任何解釋與說明，使得讀者在此有諸多疑問.本文給出sinx泰勒公式展開式的兩種情況，并用matlab比較了兩種展開式中余項的大小，解釋了兩者之間的聯系與區別.

1 泰勒公式簡介

我們用帶有拉格朗日余項的泰勒公式來討論sinx的展開式

定理1如果函數f(x)在x0某個鄰域U(x0)內有(n+1)階導數，則對于任意x∈U(x0)，都有泰勒公式展開式

我們主要討論x0=0處的泰勒公式，即麥克勞林公式：

y=f(x)的帶有拉格朗日余項的n階麥克勞林公式：

2 正弦函數f(x)=sinx在x0=0時兩種形式的泰勒展開式

所以有

下面取n分別為偶數和奇數兩種情況討論sinx的展開式：

當麥克勞林公式中的n為偶數2m時，可得到f(x)=sinx的2m階麥克勞林公式：

其中余項

估計誤差大小時利用余項：

當麥克勞林公式中的n為奇數2m-1時，可得到f(x)=sinx的(2m-1)階麥克勞林公式：

其中

3 兩種展開式之間的關系與比較

在（2）（3）兩種展開式中，可見前面的n次泰勒多項式是完全相同的，區別在于余項不同，所以在用泰勒多項式近似計算sinx的函數值時，在取同樣n的前提下，誤差估計的精度大小不同，反過來，在同樣的誤差精度要求下，確定的泰勒多項式的次數n也不一樣.下表列出了m取不同值時余項的取值范圍.

m 1 2 3 4 5 6 7|R 2m|≤ 1(2 m+1)! 0.1 6 6 7 0.0 0 8 3 1.9 8×1 0-4 2.7 5×1 0-6 2.5 0×1 0-8 1.6 0×1 0-10 7.6 4×1 0-13|R 2m-1|≤ 1(2 m)! 0.5 0.0 4 1 7 0.0 0 1 4 2.4 8×1 0-5 2.7 5×1 0-7 2.0 8×1 0-9 1.1 4×1 0-11

由上表可知用同樣的泰勒多項式近似計算sinx值的時候，第一行R2m誤差估計更精確，這也是教材[2]中未列舉n=2m-1時sin的泰勒公式展開式的原因.