湯 獲，王曉英

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

鐘玉泉[1]主編的《復變函數論》（第四版，2013年8月出版）課本中有這樣一道習題（見第45頁；第一章習題（二）中第12題，以下簡稱習題A）：

習題A設z為復數，試證＜1，并說明其幾何意義.

首先，我們用兩種方法來證明此習題.

證法1因為

令z=x+iy，故上式等價于

證畢.

證法2由于

故（1）式等價于

下面，我們給出其幾何意義. 實際上，從此題的證明過程我們即可看出其幾何意義：右半平面上任一點到（1,0）的距離小于該點到（-1,0）的距離，或者說，到（1,0）的距離小于到（-1,0）的距離的點一定在右半平面上.

那么，我們自然要問，能否將問題A推廣到左半平面、上半平面和下半平面中來考慮呢？另外，習題A中的復數z能否換成復函數f(z)呢？這就是我們接下來要討論的問題.

由習題A，我們容易得到如下結論：

推廣1設z為復數，則

證明（i）-（iii）的證明過程與習題A相似，這里我們略去.并且，類似于習題A，我們易得（i）-（iii）的幾何意義(a)-(c)：

（a）左半平面上任一點到（1,0）的距離大于該點到（-1,0）的距離或者到（1,0）的距離大于到（-1,0）的距離的點一定在左半平面上.

（b）上半平面上任一點到（0,1）的距離小于該點到（0,-1）的距離或者到（0,1）的距離大于到（0,-1）的距離的點一定在上半平面上.

（c）下半平面上任一點到（0,1）的距離大于該點到（0,-1）的距離或者到（0,1）的距離大于到（0,-1）的距離的點一定在下半平面上.

推廣2設f(z)為復函數，則Ref(z)＞0?

證法1因為

令 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中 u(x,y)，v(x,y)為二元實函數.為方便起見，我們以下簡記f(z)=u(x,y)+iv(x,y)為f(z)=u+iv.

于是，（3）式等價于

證畢.

證法2由于

而

則（4）式等價于

類似地，我們有

推廣3設f(z)為復函數，則有

注 若取f(z)=z，則推廣2和推廣3分別退化為問題A和推廣1.