球桿系統(tǒng)建模及其閉環(huán)控制器的設計

劉詩宇

(西北工業(yè)大學機電學院，陜西西安710068)

0 引言

在現(xiàn)代控制理論中，球桿系統(tǒng)是一個經(jīng)典的控制系統(tǒng)研究對象(圖1)，由于其非線性特性及開環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，球桿系統(tǒng)實驗裝置可應用于控制理論及方法的研究[1]。對于球桿系統(tǒng)的建模過程以及閉環(huán)系統(tǒng)控制器的設計，仍有著許多可研究的角度和方法。

文獻[2]提出了基于牛頓力學法和基于拉格朗日法的建模過程，并討論了PID控制器的設計過程；文獻[3]對系統(tǒng)微分方程在平衡位置點上進行線性化處理，通過極點配置法設計了狀態(tài)反饋矩陣。這兩種控制器的設計方法均較為隨機，例如PID控制主要依靠調(diào)節(jié)比例控制Kp、積分控制Ki和微分控制Kd這三個參數(shù)來決定控制器的性能，其實際值僅通過調(diào)試的方法進行選取，過程較為繁瑣；而通過極點配置法設計控制器，也僅需將極點配置在復數(shù)域的負半平面，以使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，而對于實際極點的選擇也較為隨機，選取不恰當?shù)臉O點會影響閉環(huán)系統(tǒng)的特性。文獻[4]、[5]分別提出了最優(yōu)魯棒控制器和基于遺傳算法的線性二次型控制方法，但文獻中提出的模型都經(jīng)過了明顯簡化，仿真結(jié)果和實際情況會有一定差異。文獻[6]提出了基于LQR的最優(yōu)控制器設計，該線性控制器的設計方法具有較強的實際意義，然而文獻中對于球桿系統(tǒng)建模及LQR最優(yōu)控制中權(quán)重矩陣Q、R的研究均過于簡化。

圖1 球桿系統(tǒng)實驗平臺

本文針對球桿系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀，基于拉格朗日法重新建立了球桿系統(tǒng)的全量模型，并通過基于線性二次型(LQR)的最優(yōu)控制，設計了系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器。此設計過程即選取負反饋矩陣Kopt的值，使得閉環(huán)系統(tǒng)在內(nèi)部穩(wěn)定的前提下，對系統(tǒng)的動勢能及驅(qū)動器的電能消耗進行優(yōu)化。另外，本文在狀態(tài)反饋控制器的基礎上，提出了軌跡追蹤器的設計方法，并在Matlab-Simulink仿真環(huán)境下驗證了該控制器設計方法的有效性。

1 球桿系統(tǒng)建模

1.1 基于拉格朗日法的建模過程

圖2 球桿系統(tǒng)簡圖

經(jīng)典的球桿系統(tǒng)實驗平臺是由導軌、鋼球、皮帶、傳動輪、伺服電機和電源等組成，其系統(tǒng)簡圖如圖2。導軌中心固定，兩端與皮帶相連，伺服電機由帶傳動方式將驅(qū)動軸的轉(zhuǎn)動角轉(zhuǎn)化為導軌的俯仰角變化。導軌旋轉(zhuǎn)中心設置有角度傳感器，測量導軌的傾斜角度。導軌上方安裝攝像頭，以測量小球在導軌上的位置。

為便于研究計算，本文將按表1所示的命名規(guī)則對系統(tǒng)各部件參數(shù)及變量進行表示。

根據(jù)文獻[6]，球桿系統(tǒng)的數(shù)學模型可通過拉格朗日方程描述。其優(yōu)勢在于通過求解系統(tǒng)的總動能和總勢能即可求出系統(tǒng)微分方程，無需對系統(tǒng)各子部分進行建模。為得出系統(tǒng)總動能，首先對小球在導軌上的復合運動進行分析。

圖3 小球運動及坐標系簡圖

表1 系統(tǒng)參數(shù)及變量表示

圖4 球桿系統(tǒng)速度關系

對球桿系統(tǒng)整體做出合理假設如下：1)小球在導軌上作純滾動運動，忽略小球和導軌之間的滑動及產(chǎn)生的摩擦；2)忽略帶傳動過程中的能量損失以及皮帶的彈性性質(zhì)所產(chǎn)生的位移和形變。則根據(jù)圖4可得到以下關系：

系統(tǒng)總動能為：

系統(tǒng)總勢能可表示為：

V=mg(xsin(α)+rcos(α))+cst

根據(jù)拉格朗日方法，構(gòu)造拉格朗日因子。則系統(tǒng)運動模型可由拉格朗日微分方程描述：

其中：qi代表廣義坐標，即為系統(tǒng)的主要研究變量x和α；Qi為廣義力，可由虛功原理求解，可設：

其中：Qx=0，由于球桿系統(tǒng)在系統(tǒng)變量x上并未受到外力作用，小球在導軌上自由滾動。設δW為伺服電機做的虛功，則與電機驅(qū)動軸虛位移的關系有：

δW=Cmδθ

其中：Cm為電機輸出力矩。

對直流伺服電機進行建模，直流伺服電機由伺服電壓控制，其輸入電壓信號Uc、感應電動勢e及輸出力矩Cm分別可由下式表示。

Cm=kci

1.2 系統(tǒng)狀態(tài)空間表示及其線性化

系統(tǒng)動力學微分方程可用矩陣形式表示：

為計算簡便，可設：

J2=(Ib+mr2)

根據(jù)文獻[7]所闡述的控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表示法，可設系統(tǒng)狀態(tài)向量：

故可得到該非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式：

其中系統(tǒng)輸入量為直流電機輸入的電壓信號：U=Uc。

由上式可知，系統(tǒng)狀態(tài)x1e=xeq的平衡位置并未確定。即當導軌的俯仰角為0°時(導軌保持水平)，小球可以在導軌上任意位置保持平衡，電機通過帶傳動在導軌上施加的平衡力矩，使得小球保持靜態(tài)平衡。在實際問題中，顯然選取x1e=0(小球位于導軌正中心)，故Ue=0。

將得到的平衡位置點處的系統(tǒng)狀態(tài)量代入，對非線性系統(tǒng)進行線性化，可最終得到線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式：

其中：δX=X-Xe，δU=U-Ue，顯然由于平衡位置點的選擇，可將線性方程簡化為：

即在平衡位置附近線性化得到的系統(tǒng)空間狀態(tài)模型，可用于描述系統(tǒng)在任意位置的運動規(guī)律。

此處，矩陣A、B描述了系統(tǒng)的運動規(guī)律及控制規(guī)律，由線性化過程可得到：

而Y為系統(tǒng)輸出向量，此處考慮系統(tǒng)為全狀態(tài)量輸出，以便于設計系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器。故可得到輸出矩陣C和D的值：

2 基于LQR的狀態(tài)反饋控制器設計

由文獻[7-8]所闡述的狀態(tài)反饋控制器的設計方法，以及采用基于線性二次型(LQR)的最優(yōu)控制對控制器環(huán)節(jié)進行選取的過程，可設計狀態(tài)負反饋調(diào)節(jié)輸入量：

U=-KX+Uc

其中：Uc為系統(tǒng)外部輸入量(此處為電機輸入的電壓信號)，K為待設計的狀態(tài)反饋增益矩陣。則閉環(huán)系統(tǒng)可表示為：

Q為半正定的狀態(tài)加權(quán)矩陣，R為正定的控制加權(quán)矩陣。根據(jù)文獻[9]所闡述的基于二次型的最優(yōu)控制設計方法可知，令二次型的性能指標J取極小值時，最優(yōu)控制率可表示為：

Uopt=-R-1BTKX

其中：K為Reccati方程的常數(shù)解，該方程表示為：

KA+ATK-KBR-1BTK+Q=0

對于本文所研究的球桿系統(tǒng)，設計二次型性能指標函數(shù)J，以優(yōu)化球桿系統(tǒng)運動過程中的動能、勢能以及系統(tǒng)控制過程中所消耗的電能，并且考慮系統(tǒng)主要控制對象x、α的控制誤差。系統(tǒng)內(nèi)部的動能和勢能可分別表示如下：

V=mg(xsin(α)+rcos(α))+cst≈(α→0)mgxα+cst

系統(tǒng)內(nèi)部消耗的電能可表示為：

并且該控制系統(tǒng)主要目的是通過控制導軌俯仰角α從而控制小球在導軌上的位置x，故可針對系統(tǒng)狀態(tài)量x和α設置偏差函數(shù)：

Je=x2+0.5α2

其中：S為XTU交叉項的加權(quán)矩陣。經(jīng)過簡單的矩陣轉(zhuǎn)化，可將上式表示為：

R(U+R-1STX)]dt

可設U′=U+R-1STX，Q′=Q-SR-1ST。則可將上式轉(zhuǎn)化為一般的二次型性能指標函數(shù)，且此時原線性系統(tǒng)表示為：

=(A-BR-1ST)X+BU′

根據(jù)一般形式下最優(yōu)控制率的解，可得：

U′=-R-1BTKX

最終可得最優(yōu)控制率為：

Uopt=U′-R-1STX=-R-1(BTK+ST)X

其中K為以下Reccati方程的常數(shù)解：

K(A-BR-1ST)+(A-BR-1ST)TK-KBR-1BTK+(Q-SR-1ST)=0

即對于閉環(huán)控制系統(tǒng)，最優(yōu)控制下的狀態(tài)反饋矩陣為：

Kopt=-R-1(BTK+ST)

對于權(quán)重矩陣Q、R、S的選取，根據(jù)前文對系統(tǒng)動勢能、消耗電能以及系統(tǒng)狀態(tài)量x和α偏差函數(shù)的建立，易求得：

3 軌跡追蹤問題及設計方法

對于軌跡追蹤問題，電機輸入的電壓信號不再作為閉環(huán)系統(tǒng)的輸入量，而是將參考軌跡作為系統(tǒng)輸入。對于本文研究的球桿系統(tǒng)，將系統(tǒng)狀態(tài)量x，即小球在導軌上的位置作為參考輸入。此時閉環(huán)系統(tǒng)反饋控制率可表示為：

U=-KX+GXd

其中：Xd即為系統(tǒng)外部輸入的參考軌跡；G為待設計的補償增益矩陣；K為狀態(tài)反饋矩陣，可通過極點配置法或上文討論的最優(yōu)控制法求得，以使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性要求。則加入軌跡追蹤環(huán)節(jié)的閉環(huán)控制系統(tǒng)可由下式和圖5所示的系統(tǒng)框圖表示。

圖5 閉環(huán)系統(tǒng)框圖

重新構(gòu)造系統(tǒng)空間狀態(tài)方程，加入外部參考狀態(tài)量Xd，則未加入補償增益矩陣G的開環(huán)系統(tǒng)可表示為：

其中：X仍為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，Xd=xd為針對小球在導軌上的位置x而輸入的參考軌跡。則根據(jù)上文研究的球桿系統(tǒng)可知：A11=A，B1=B。且系統(tǒng)的參考軌跡輸入并不會影響系統(tǒng)內(nèi)部的運動規(guī)律，則有：

若此處Xd考慮為系統(tǒng)外部干擾，則矩陣A12可通過對擾動與系統(tǒng)運動產(chǎn)生的影響進行建模求得。并且，在本文研究內(nèi)容中，由于參考輸入僅為系統(tǒng)狀態(tài)x需要追蹤的一條軌跡，其本身并不需要運動方程描述，故A22=0。

可設系統(tǒng)仍為全狀態(tài)量輸出，且外部參考軌跡Xd并不需要輸出。故有：

根據(jù)文獻[7]中關于軌跡追蹤器的設計方法，可知該線性系統(tǒng)方程可解，當且僅當存在Ta、Fa使得：

通過解得的Ta、Fa以及前文已設計的狀態(tài)反饋矩陣Kopt，可求得系統(tǒng)追蹤器的狀態(tài)反饋控制率為：

U=-KoptX+(Fa-KoptTa)Xd

即閉環(huán)系統(tǒng)軌跡追蹤的補償增益矩陣：

G=Fa-KoptTa

4 仿真研究

4.1 狀態(tài)反饋控制器仿真

下面通過在Matlab-Simulink環(huán)境下進行的數(shù)值仿真來驗證上述的基于LQR的狀態(tài)反饋控制器和軌跡追蹤器設計方法的有效性。根據(jù)文獻[10]提供的球桿系統(tǒng)實驗平臺各參數(shù)的實際數(shù)值，可得到系統(tǒng)空間狀態(tài)表示的常數(shù)矩陣：

對于LQR最優(yōu)控制中權(quán)重矩陣的選取，代入實際數(shù)值后可得：

R=0.385

在實際問題中，閉環(huán)系統(tǒng)控制器性能主要考慮的指標是系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定性以及對系統(tǒng)外部參考的追蹤效果，而對系統(tǒng)消耗的能量要求并不嚴苛，故可增加LQR中對于系統(tǒng)狀態(tài)權(quán)重矩陣Q的比重。在此研究實例中，可選取：Qs=500Q，Rs=R，Ss=S。并借助Matlab中Care函數(shù)(Continuous-time Algebraic Reccati Equation)，可求得閉環(huán)系統(tǒng)最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋矩陣：

Kopt=[-36.634 75.635 -29.192 12.217]

對于軌跡追蹤問題，將矩陣A11=A，B1=B中代入實際數(shù)值，可求得：

Fa=0.574

則補償增益：G=Fa-KoptTa=-36.060。

在Simulink仿真環(huán)境下實現(xiàn)了閉環(huán)線性系統(tǒng)，并且關于反饋矩陣K的選取，對比了傳統(tǒng)的極點配置法和基于LQR的最優(yōu)控制法所設計的閉環(huán)系統(tǒng)性能。則對于仿真實驗，給定系統(tǒng)輸入的電壓信號如圖6。

圖6 閉環(huán)系統(tǒng)電壓輸入

根據(jù)文獻[3]中提出的極點配置法，選取閉環(huán)系統(tǒng)A-BK的特征值：

則可得到狀態(tài)反饋矩陣：

K=[-865.7 1718.1 -771.5 200.3]

將兩種方法求得的反饋矩陣分別進行仿真實驗，給定同樣的電壓輸入信號，觀察閉環(huán)系統(tǒng)對于小球在導軌上位置x的響應。

圖7展示了對于兩種方法求得的反饋矩陣K，閉環(huán)系統(tǒng)關于小球位置x相應的輸出響應。可知兩種設計方法得到的閉環(huán)系統(tǒng)均穩(wěn)定，且響應時間均較短(1.5 s左右)。然而由于極點配置法求得的反饋增益的值較大，使得系統(tǒng)響應輸出量較小，影響了系統(tǒng)對輸入信號的敏感度，而降低K值的選取又會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在對閉環(huán)系統(tǒng)A-BK極點的選取過程中，對于共軛復數(shù)根實際值的不同選取也會影響系統(tǒng)的震蕩性。而根據(jù)LQR的最優(yōu)控制所涉及的閉環(huán)系統(tǒng)控制器，顯然在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，系統(tǒng)響應時間較短，超調(diào)量較小，并且選取的反饋增益的值也更貼合實際(考慮了對系統(tǒng)能量及電機電能消耗的優(yōu)化)，在實際問題中突顯了其設計方法的優(yōu)越性。

圖7 小球位置輸出響應

4.2 軌跡追蹤器仿真

在Simulink仿真環(huán)境下，實現(xiàn)了對閉環(huán)系統(tǒng)軌跡追蹤器的建模仿真，并給定外部輸入的參考軌跡Xd如圖8。

圖8 小球位置x的參考軌跡輸入

在仿真中，可得到閉環(huán)系統(tǒng)對于參考軌跡xd追蹤的響應曲線以及球桿系統(tǒng)輸入的控制電壓U=-KX+GXd，分別由圖9和圖10表示。

圖9 小球位置x的響應曲線

由圖9可得，閉環(huán)系統(tǒng)對軌跡追蹤的響應時間約為2s，且穩(wěn)態(tài)誤差很小。且由圖10可知，系統(tǒng)控制電壓滿足實驗平臺對輸入電壓的限制(最大電壓不超過35V)，該閉環(huán)系統(tǒng)軌跡追蹤器的設計得到驗證。

圖10 閉環(huán)控制系統(tǒng)輸入電壓

5 結(jié)論

本文在詳細分析球桿系統(tǒng)基本原理的基礎上，運用拉格朗日法建立了系統(tǒng)的全量數(shù)學模型，并對系統(tǒng)的非線性模型進行了線性化處理。針對線性化模型，研究了基于LQR的最優(yōu)控制，設計了系統(tǒng)狀態(tài)追蹤器。并在Simulink仿真環(huán)境下實現(xiàn)了建模、仿真實驗，對比研究了分別通過極點配置法和基于LQR的最優(yōu)控制所得到的閉環(huán)系統(tǒng)控制器性能。利用極點配置法設計控制器具有操作簡便的特點，但是對于所配置極點的選取具有一定的難度，其隨機性會影響控制系統(tǒng)的性能。且此方法并未考慮實際情況，例如在實際問題中，若配置的極點過于遠離復數(shù)域的原點，會使得控制器反饋增益矩陣K的值較大，導致控制器成本過高或系統(tǒng)消耗的能量過大。相反，基于LQR的最優(yōu)控制可在滿足閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，對設計的二次型性能指標函數(shù)進行優(yōu)化，求得反饋增益矩陣的一個優(yōu)化解。例如在本文所研究的球桿系統(tǒng)中，優(yōu)化了系統(tǒng)動勢能和電機驅(qū)動所消耗的電能，且文中探討的設計過程有效地提出了權(quán)重矩陣Q、R和S的選取方法。顯然該設計方法在實際問題中具有更大的優(yōu)勢。

本文在設計狀態(tài)反饋控制器的基礎之上，增加了軌跡追蹤器環(huán)節(jié)，即討論了補償增益矩陣G的選取過程，使得系統(tǒng)狀態(tài)量和參考軌跡輸入量的誤差趨近于零。最終通過Simulink仿真結(jié)果表明，本文設計的狀態(tài)反饋控制器及軌跡追蹤器達到了理想的設計效果。