HPM視角下“對數概念”的教學案例

詹云蕾

[摘? ? ? ? ? ?要]? 對數是中職數學重要的基礎內容之一，對天文、航海及軍事等方面的發展起著非常重要的作用，曾與解析幾何、微積分被恩格斯稱為17世紀數學的三大成就。對數的發展經歷了形成簡化運算想法、發明對數表、發現指數與對數的互逆關系三個階段，但是人教版必修一省略了前兩個階段，僅從簡單的指數函數引出對數的概念，這樣會導致學生缺乏對對數發展史的了解，在理解對數概念上存在一定困難。近年來，部分教師從HPM視角下設計對數概念的教學，將數學史融入實踐教學，不僅增強了課堂的趣味性，更加有利于學生理解重難點知識。

[關? ? 鍵? ?詞]? HPM;對數概念;教學設計;教學反饋

[中圖分類號]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號]? 2096-0603（2019）30-0012-02

在人教版數學教材中的對數與對數運算這節中，對數概念是通過人口增長模型，即指數模型引入的。這種導入方法揭示了對數與指數之間的密切聯系。但對學生而言，對數畢竟是一個新的概念，因此，在這節學習中存在兩種現象：一是學生對對數概念理解得不透徹，不知道對數的作用;二是學生對運算法則死記硬背、盲目套用，容易出錯。導致上述現象的原因是學生缺乏對對數概念發展史的了解，因此學生接受起來較困難。教材編寫者為彌補這一缺失，在課后“閱讀與思考”中介紹了“對數的發明”，讓學生了解對數產生的過程。但在教學實踐中，很多教師未能將其納入課堂中，也未能引起學生的足夠重視，甚至有些學生根本不知道有這部分內容。為了讓學生對對數理解得更加透徹，設計一堂既不擠占教學時間又能更好地將對數發展史融入教學中，既不能讓本節課理解為“數學史課”，又能讓學生上一節充實的課是非常必要的。因此，進行了如下的教學設計與實施。

一、問題導入

1.不用計算器，請同學們計算299792458×31536000×100000，顯然如果不運用計算工具，需要花費很長時間，這也是17世紀天文學家幾乎每天面臨的問題，因此簡化計算方法成了17世紀天文學家急需解決的難題。

2.接著介紹對數的發展背景。

16、17世紀之交，隨著天文學、航海貿易及軍事等的發展，科學家們幾乎每天面臨著大量復雜的計算，有時僅僅一個計算就要花去幾個月甚至幾年的時間，因此簡化計算就成了當時迫切需要解決的問題。蘇格蘭數學家納皮爾經過多年研究，在1614年出版了《奇妙的對數定律說明書》，發明了對數，并將花費了20年的研究結果公布于眾，具有劃時代的意義。之后，布里格斯對納皮爾的對數進行了改造，發明了常用對數。

由于對數比指數發明得早，納皮爾在研究對數時并沒有使用指數與對數的關系，直到18世紀瑞士數學家歐拉發現了指數與對數的互逆關系。對數的發明先于指數，成為數學史上的珍聞。對數的發展經歷了簡化運算想法的形成、對數表的發明、指數與對數的互逆關系三個階段，隨著社會發展以及計算工具的不斷革新，教材省略了對數發展的前兩個階段。為順應對數的發展歷程，我們將前兩個階段融入教學中，進行歷史重構，讓學生更好地理解對數。

二、新課講授

（一）第一階段：形成簡化運算思想

師：今天考查下大家的計算水平，請大家計算下（299792458×31536000×100000=？），有些學生抱怨數據太大，太難算。這個數據確實很大，但是來自天文學中的實際問題——銀河系直徑的大小，銀河系直徑約為十萬光年，光速為每秒299792458米，一年為31536000秒。

生：直接計算太復雜、太繁瑣。

師：16、17世紀之交，天文學迅速發展，天文學家有時為了一個復雜的運算要耗費幾個月的時間，因此簡化運算是當時急需解決的問題。

（二）第二階段：對數表的探索

師：請大家計算下指數為9時，對應的結果。

生：19683。

師：那么指數為13呢？

生：1594323。

師：算得很快啊，請同學們再來計算下81×2187=？

生：177147，不用計算，查表就知道了。

師：居然不用計算就得出來了，很聰明啊。那么大家再來挑戰下0.126473×356218=？。

生：0.126473是3的幾次冪呢？356218又是3的幾次冪呢？老師，表格中沒有，我們不會計算。

師：看來表格還是存在問題的，在表格中只能查到3的整數指數冪。那么對于其他實數，比如2×7，就不適用了。

生：那能不能把表做得更精細一些呢？可以查到2是3的幾次冪，7是3的幾次冪。

師：可以，但是制作表的難度很大。17世紀，蘇格蘭數學家納皮爾用了20年的時間制作了可查的對數表，為當時的天文、航海、軍事等作出了巨大貢獻。但是利用Excel模擬查表得到的值只能是近似值，那有沒有精確的表示方法呢？

（三）第三階段：引入對數符號（指數與對數的關系）

我們把符號一般化，就給出了對數的概念：一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么數x叫作以a為底N的對數（logarithm），記作x=logaN，其中a叫作對數的底數，N叫作真數。

三、課堂小結

本節課，我們體驗了對數概念發明的歷史過程，重現了納皮爾與布里格斯發明對數的過程，屬于重構式的HPM教學案例。對數的發明是數學史上的重大事件，曾被恩格斯稱為17世紀數學的三大成就之一。伽利略也說過：“給我空間、時間及對數，我就可以創造一個宇宙”，可見對數的發明有多么重要。

四、教學反饋

本節課的授課對象是我校17級小學教育系的四個班級，課后通過調查問卷與作業測試來檢測學生對對數概念的理解程度。

在概念的理解上，80.6%的學生表示能夠理解對數的概念，情況較理想。79.2%的學生能夠判斷想出“log”與“a”“N”之間的關系，記住了指數與對數的互化形式及符號表示，比如，計算“log2■=？”“log381=？”時，正確率到達了86%，由于學生的數學基礎較差，對本節課的掌握情況能夠達到上述情況是比較理想的。

在教學形式上，90%的學生對數學史融入數學課堂的教學方式比較感興趣，持支持態度。大部分學生認為教師將豐富的數學背景知識融入課堂，能夠增強學習興趣，拓寬知識面，更容易掌握知識，同時也被數學家艱苦奮斗、敢于突破的創新精神所敬佩。

五、結語

HPM視角下“對數概念”的教學優勢是比較明顯的。教師根據學生在理解對數概念時可能遇到的問題，設計出具有針對性的教學案例，在課堂上重現了對數概念發明的過程，以史為鑒，效果頗好。同時，通過給學生講述對數概念的演變過程，能夠讓學生追尋大師的足跡、領略大師的風采，體會大師堅持不懈、勇于創新的精神。

參考文獻：

[1]吳晨昊.HPM視角下的“對數概念及其運算”的教學[J]. 數學教學，2016（12）：37-41.

[2]金惠萍，王芳.HPM視角下的對數概念教學[J].教育研究與評論（中學教育教學），2014（9）：28-34.

◎編輯 武生智