構造三角形的中位線定理使用條件解題例析

三角形的中位線定理揭示了三角形中兩條線段的位置關系和數量關系，利用它來解決幾何證明題是行之有效的方法。在解答與中點有關的幾何題時，若能根據題意巧妙構造中位線定理使用條件，就會有出奇制勝的效果。下面通過幾道題說明之，以供參考。

一、沒有第三邊，添加第三邊

【例1】如圖，點E、F、G、H分別是CD、BC、AB、DA的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

證明：連接BD，∵E、F、分別是CD、BC的中點，∴EF∥BD，，又∵G、H分別是AB、DA的中點，∴GH∥BD，，∴，∴四邊形EFGH是平行四邊形.

二、沒有中位線，作出中位線

【例2】已知，如圖在，在□ABCD中，E是CD的中點，F是AE的中點，FC與BE交于G.求證：GF=GC.

證明：取BE的中點H，連接FH、CH，∵F是AE的中點，H是BE的中點，∴FH是三角形ABE的中位線，∴FH∥AB且，又∵點E是DC的中點，∴，又∵，∴.∴四邊形EFHC是平行四邊形，∴GF=GC.

三、同時作出中位線和第三邊

【例3】如圖，同底邊BC的△ABC與△DBC中，E、F、G、H分別是AB、AC、DB、DC的中點，求證：EH與FG互相平分.

證明：連接EG、GH、FH、EF，∵點E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點，∴EF、GH分別是△ABC與△DBC的中位線，∴，，∴.∴四邊形EGFH為平行四邊形.∴EF與GH互相平分.

四、兩邊中有一邊不全，補全兩邊

【例4】如圖，已知在△ABC中，E是AB的中點，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求證：（1）DE∥BC；（2）

證明：延長AD交BC于F.

（1）∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD.在△ACD與△FCD中，∠ADC=∠FDC， DC=DC，∠ACD=∠FCD，∴△ACD≌△FCD.∴AC=FC， AD=DF.又∵E為AB的中點，∴DE∥BF，即DE∥BC.

（2）由（1）知AC=FC，，∴.

總之，三角形的中位線定理是一個非常有價值的定理.它是一個遇到中點，必須聯想到的重要定理，但是在解題時，往往只知道它的一部分，因此就需要同學們根據題目的特點自己去尋找，補全中位線定理的基本圖形，解決問題，從而達到學習的目的.