含隱含條件的二次根式的化簡(jiǎn)求值

學(xué)完第十六章《二次根式》后，在二次根式的化簡(jiǎn)與求值中，常常遇到一些含隱含條件的題目，即：使二次根式有意義的條件下字母的取值范圍.這類隱含條件，往往使同學(xué)們感到解題困惑.若在解題之前首先考慮到這些隱含條件，把它作為題目中的已知條件，就會(huì)思路清晰，輕松解題，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：

【例1】①若，求的值.②若，求的值.③若，求的值.

【解析】從求值的式子看，都要求出求值式子的平方的值后再求平方根.但從條件和結(jié)論結(jié)合起來(lái)分析又各不相同：（1）中是正數(shù)，而誰(shuí)大誰(shuí)小不確定，故其差可為正也可為負(fù)，因此有兩個(gè)值；（2）中由于均為正數(shù)，其和必為正數(shù)，所以，只有一個(gè)正值；（3）中因?yàn)椋裕势洳顬樨?fù)，所以其值負(fù).

【答案】（1）；（2）；（3）.具體求解請(qǐng)同學(xué)們完成.

【例2】（1）化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是（ ）

A. B. C. D.

（2）把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，得（ ）

A. B. C. D.

【解析】課本中二次根式的性質(zhì)有：，反過(guò)來(lái)為：，即把一個(gè)非負(fù)數(shù)可以平方后從根號(hào)外移到根號(hào)內(nèi)，從而化簡(jiǎn)的目的.因此我們必須保證移到根號(hào)內(nèi)的數(shù)是非負(fù)數(shù)的平方.

（1）中∵，∴，確定了為負(fù)數(shù)就不能直接平方后移到根號(hào)內(nèi)，為了解決好這個(gè)問(wèn)題又保證恒等變形，我們?cè)谇懊嫣砹藘蓚€(gè)負(fù)號(hào)，變?yōu)椋@樣就是一個(gè)正數(shù)了，把它平方后移到根號(hào)內(nèi)就可化簡(jiǎn)了.

∵

故選B.另解：.②由同學(xué)們完成，答案：C.

【例3】①已知，求的值.②已知，求的值.③若，則化簡(jiǎn) .

【解析】（1）中，因，所以同號(hào)，又因，所以，

原式

（2）中，由已知可得：同號(hào)，因此，分同正和同負(fù)兩種情況求解：①若時(shí)，原式；若時(shí)，原式

（3）中，∵，∴；又∵，∴.因此，原式.注：（1）、（2）中的求值可以利用例1中的方法，先把求值的式子平方求其值，再根據(jù)字母的取值范圍求其平方根，達(dá)到求值的目的.

【例4】已知，若，求的取值范圍.

【解析】考慮的雙重非負(fù)性，由已知得：，又因解不等式組得：，∴的取值范圍是.

【例5】最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，求的值.

【分析】由同類二次根式的定義可得關(guān)于的方程，解方程求出的值.但注意隱含條件：①被開(kāi)方數(shù)必是非負(fù)數(shù)；②還要是最簡(jiǎn)二次根式.

【解】根據(jù)題意得：，解方程得：，當(dāng)時(shí)，，適合題意；當(dāng)時(shí)，不適合題意，舍去.故，的值是6.

由以上各題的解題過(guò)程中可以看出，在二次根式的化簡(jiǎn)求值中，只要對(duì)題目中的隱含條件細(xì)心分析挖掘，充分注意到它們?cè)陬}目中的作用，才能在解題時(shí)不出現(xiàn)各種錯(cuò)誤！